Questão 8. Considere as seguintes afirmações.
(I) Sendo
e
duas funções, tais que ambas são soluções de uma EDO não linear, então podemos afirmar que
, é também solução desta EDO não linear.
(II) Sendo
uma solução da EDO linear homogênea de 2a ordem:
, então podemos afirmar que
, é também solução da EDO linear não homogênea de 2a ordem:
.
(III) Temos que
e
, são, respectivamente, uma solução particular e a solução geral da equação de Riccati
.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra e.
(I) Sendo
(II) Sendo
(III) Temos que
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre EDOs e pede quais são verdadeiras:
(I) superposição em EDO não linear;
(II) escala de solução homogênea vira solução de não homogênea;
(III) verificação de uma solução particular e da solução geral de uma equação de Riccati.
(I) superposição em EDO não linear;
(II) escala de solução homogênea vira solução de não homogênea;
(III) verificação de uma solução particular e da solução geral de uma equação de Riccati.
Passo 2
Analisando (I): “Se
e
resolvem uma EDO não linear, então
também resolve.”
Em EDOs não lineares não vale o princípio da superposição: a soma de duas soluções em geral não satisfaz a equação. Logo (I) é falsa.
Em EDOs não lineares não vale o princípio da superposição: a soma de duas soluções em geral não satisfaz a equação. Logo (I) é falsa.
Passo 3
Analisando (II): “Se
é solução de
então
é solução de
Substituir
na EDO não homogênea dá LHS
. Portanto (II) é falsa.
Passo 4
Analisando (III): “Para
dizem que
é solução particular e
é a solução geral.”
Verificamos que para temos
Verificamos que para
logo
. Com a substituição padrão de Riccati e resolução da Bernoulli para a variação, obtém-se exatamente
mostrando que (III) é verdadeira.
Passo 5
Das três afirmações, (I) e (II) são falsas e (III) é verdadeira. A alternativa que indica “(I) e (II) são falsas” é a letra (d).
Resposta
(d)