Questão 8. Considere as seguintes afirmações.
(I) Sendo y1=y1(x) e y2=y2(x) duas funções, tais que ambas são soluções de uma EDO não linear, então podemos afirmar que y=c1 y1+c2 y2, c1, c2 in R, é também solução desta EDO não linear.
(II) Sendo y1=y1(x) uma solução da EDO linear homogênea de 2a ordem: y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=0, então podemos afirmar que y=c1 y1, c1 in R, é também solução da EDO linear não homogênea de 2a ordem: y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=R(x), R(x) neq 0.
(III) Temos que y=x e y=C x^-5+3 xC x^4-1, são, respectivamente, uma solução particular e a solução geral da equação de Riccati y^prime+yx+y^2x^2=3.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) (I), (II) e (III) são falsas
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra e.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre EDOs e pede quais são verdadeiras:
(I) superposição em EDO não linear;
(II) escala de solução homogênea vira solução de não homogênea;
(III) verificação de uma solução particular e da solução geral de uma equação de Riccati.

Passo 2

Analisando (I): “Se y1 e y2 resolvem uma EDO não linear, então c1y1+c2y2 também resolve.”
Em EDOs não lineares não vale o princípio da superposição: a soma de duas soluções em geral não satisfaz a equação. Logo (I) é falsa.

Passo 3

Analisando (II): “Se y1 é solução de
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,
então c1y1 é solução de
y''+P(x)y'+Q(x)y=R(x), R(x)neq0
Substituir y=c1y1 na EDO não homogênea dá LHS =c1cdot0=0neq R(x). Portanto (II) é falsa.

Passo 4

Analisando (III): “Para
y'+ yx+y^2x^2=3,
dizem que yp=x é solução particular e
y=C,x^-5+3xC,x^4-1
é a solução geral.”
Verificamos que para y=x temos
y'=1, yx=1, y^2x^2=1,
logo 1+1+1=3. Com a substituição padrão de Riccati e resolução da Bernoulli para a variação, obtém-se exatamente
y=C,x^-5+3xC,x^4-1,
mostrando que (III) é verdadeira.

Passo 5

Das três afirmações, (I) e (II) são falsas e (III) é verdadeira. A alternativa que indica “(I) e (II) são falsas” é a letra (d).

Resposta

(d)

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