Questão 9. Considere as seguintes afirmações.
(I) A equação 2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-y=0, x>0, é uma EDO linear homogênea de 2 a ordem com coeficientes constantes.
(II) As funções y1(x)=raizx e y2(x)=1x são soluções da equação 2 x^2 y^prime prime+3 x y^prime-y=0, x>0. Além disso, y1, y2 forma um conjunto fundamental de soluções desta equação.
(III) A EDO(x+y+1) d x+(y-x-3) d y=0 pode ser reduzida à uma equação de variáveis separáveis.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) apenas (I) é falsa
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores

Resposta. A alternativa correta é a letra e.

Passo 1

O enunciado pede para julgar três afirmações sobre equações diferenciais:
  • (I) classificar 2x^2y''+3x y' - y=0 como EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes;
  • (II) verificar se y1(x)=raizx e y2(x)=1/x são soluções e se formam conjunto fundamental;
  • (III) mostrar que a forma diferencial (x+y+1),dx+(y-x-3),dy=0 pode virar variáveis separáveis.
    Precisaremos de conceitos de EDO de Euler, Wronskiano e redução de formas lineares a equações homogêneas.

Passo 2

Para uma EDO ser de coeficientes constantes, os fatores que multiplicam y'',,y' e y não podem depender de x. Aqui temos
2x^2,y''+3x,y'-y=0,
onde os coeficientes são 2x^2 e 3x, que variam com x. Logo, (I) é falsa.

Passo 3

A equação dada é do tipo de Euler– Cauchy. Se buscarmos soluções da forma y=x^m, substituindo em
2x^2y''+3x,y'-y=0
vem o polinômio característico
2m(m-1)+3m-1=0;Longrightarrow;2m^2+m-1=0;Longrightarrow;m=-1pm34=12,,-1
Assim as soluções são
y1(x)=x^1/2=raizx, y2(x)=x^-1=1x
Para ver que formam conjunto fundamental, calculemos o Wronskiano
W(y1,y2)(x) =detraizx&1/x[6pt]tfrac12raizx&-1/x^2 =-32,x^-3/2neq0(forall x>0)
Como Wneq0, (II) é verdadeira.]

Passo 4

Considere a forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, M=x+y+1,;N=y-x-3
Não é exata nem homogênea por causa dos termos constantes. Façamos a translação
X = x-2, Y = y+1,
de modo que dx=dX, dy=dY. A forma torna-se
(X+Y),dX+(Y-X),dY=0,
que é homogênea de grau 1. Dividindo por dX e usando Y=vX, chegamos a
dYdX=-X+YY-X ;longrightarrow; XdvdX=-1+v^2v-1,
que é separável em v e X. Logo (III) é verdadeira.

Passo 5

Resumindo: (I) é falsa; (II) e (III) são verdadeiras. Só “apenas (I) é falsa” corresponde à alternativa (e).

Resposta

(e) apenas (I) é falsa.

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