Questão 9. Considere as seguintes afirmações.
(I) A equação , é uma EDO linear homogênea de ordem com coeficientes constantes.
(II) As funções e são soluções da equação . Além disso, forma um conjunto fundamental de soluções desta equação.
(III) pode ser reduzida à uma equação de variáveis separáveis.
Nestas condições, é correto afirmar que:
(a) apenas (I) é verdadeira
(d) (I) e (II) são falsas
(b) apenas (II) é verdadeira
(e) apenas (I) é falsa
(c) (I), (II) e (III) são verdadeiras
(f) nenhuma das alternativas anteriores
Resposta. A alternativa correta é a letra e.
Passo 1
O enunciado pede para julgar três afirmações sobre equações diferenciais:
(I) classificar como EDO linear homogênea de ª ordem com coeficientes constantes;
(II) verificar se e são soluções e se formam conjunto fundamental;
(III) mostrar que a forma diferencial pode virar variáveis separáveis.
Precisaremos de conceitos de EDO de Euler, Wronskiano e redução de formas lineares a equações homogêneas.
Passo 2
Para uma EDO ser de coeficientes constantes, os fatores que multiplicam e não podem depender de . Aqui temos
onde os coeficientes são e , que variam com . Logo, (I) é falsa.
Passo 3
A equação dada é do tipo de Euler– Cauchy. Se buscarmos soluções da forma , substituindo em
vem o polinômio característico
Assim as soluções são
Para ver que formam conjunto fundamental, calculemos o Wronskiano
Como Wneq0, (II) é verdadeira.]
Passo 4
Considere a forma diferencial
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0, M=x+y+1,;N=y-x-3
Não é exata nem homogênea por causa dos termos constantes. Façamos a translação
X = x-2, Y = y+1,
de modo que dx=dX, dy=dY. A forma torna-se
(X+Y),dX+(Y-X),dY=0,
que é homogênea de grau 1. Dividindo por dX e usando Y=vX, chegamos a
dYdX=-X+YY-X ;longrightarrow; XdvdX=-1+v^2v-1,
que é separável em v e X. Logo (III) é verdadeira.
Passo 5
Resumindo: (I) é falsa; (II) e (III) são verdadeiras. Só “apenas (I) é falsa” corresponde à alternativa (e).