Questão 10: Considere T: R^{3} \rightarrow R^{2} e G: R^{2} \rightarrow R^{3} dadas por T(x, y, z)=(x-y, x+y) e G(x, y)=(x+2 y+3 z, x+z, x-y). Determine T-2 G, T \circ G e G \circ T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z) = (\,x - y,\;x + y)
e a transformação
G: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 definida por
G(x,y) = (\,x + 2y + 3z,\;x + z,\;x - y).
Porém, em G aparece a variável z mesmo tendo domínio \mathbb{R}^2, e além disso não coincide o espaço de chegada de T com o de G.

Passo 2

Para definir T - 2G seria preciso que T e G fossem ambas de um mesmo espaço V em outro espaço W idêntico, o que não ocorre:
  • T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2
  • G\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3
    e, além disso, G usa um z não pertencente às coordenadas de entrada (x,y).

Passo 3

O mesmo problema aparece em T\circ G e G\circ T:
  • T\circ G exigiria G\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^3 para caber no domínio de T, mas G foi dado de \mathbb{R}^2.
  • G\circ T exigiria T\colon \mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^2 para caber no domínio de G, mas G não tem um domínio claro em \mathbb{R}^3.

Resposta

Não é possível determinar T - 2G, T\circ G nem G\circ T porque a definição de G está inconsistente (usa a variável z fora do domínio \mathbb{R}^2) e os espaços de domínio/contradomínio de T e G não coincidem.

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