Questão 8: Determine a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} tal que T(2,0,1)=(3,3,2), T(1,-1,0)=(1,2,1) e \operatorname{Nuc}(T)=[(1,0,1)].

Passo 1

O enunciado pede para achar uma aplicação linear
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
tendo
T(2,0,1)=(3,3,2),\quad T(1,-1,0)=(1,2,1)
e núcleo
\mathrm{Nuc}(T)=\mathrm{span}\{(1,0,1)\}.
O conteúdo é Álgebra Linear (dimensão, núcleo e imagem) e vamos usar que, como \dim\ker T=1, vale \mathrm{rank}\,T=2, e que três vetores independentes formam base de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Verificamos que os vetores
v_1=(1,0,1),\quad v_2=(2,0,1),\quad v_3=(1,-1,0)
são linearmente independentes. De fato, se
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3=0,
isto dá o sistema
\begin{cases} \alpha+2\beta+\gamma=0,\\\\ 0\,\alpha+0\,\beta-\gamma=0,\\\ \alpha+\beta+0\,\gamma=0, \end{cases}
cuja única solução é \alpha=\beta=\gamma=0. Logo \{v_1,v_2,v_3\} é base de \mathbb{R}^3.

Passo 3

Como v_1\in\ker T, temos T(v_1)=0. Para qualquer v=(x,y,z) escrevemos
v=\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3
e obtemos o sistema
\begin{cases} x=\alpha+2\beta+\gamma,\\\ y=-\gamma,\\\ z=\alpha+\beta. \end{cases}

Passo 4

Das equações surge
\gamma=-y.
Como z=\alpha+\beta, tem \alpha=z-\beta.
Substituindo em x=\alpha+2\beta+\gamma
x=(z-\beta)+2\beta+(-y)\;\Longrightarrow\;\beta=x+y-z.
Então
\alpha= z-(x+y-z)=2z-x-y,\quad \beta=x+y-z,\quad \gamma=-y.

Passo 5

Pela linearidade,
T(v)=\alpha\,T(v_1)+\beta\,T(v_2)+\gamma\,T(v_3) =\beta\,(3,3,2)+\gamma\,(1,2,1).
Substituindo \beta=x+y-z e \gamma=-y obtemos
T(x,y,z) =\bigl(3(x+y-z)-y,\;3(x+y-z)+2(-y),\;2(x+y-z)-y\bigr).
Simplificando cada componente,
T(x,y,z)=(3x+2y-3z,\;3x+y-3z,\;2x+y-2z).

Resposta

T(x,y,z)=(3x+2y-3z,\;3x+y-3z,\;2x+y-2z).

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