Questão 9: Considere a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} dada por T(x, y, z)=(3 x-y, 2 y-z, x+z).
a. Determine [T]_{C}^{C}, onde C é a base canônica de R^{3}.
b. Determine [T]_{\alpha}^{\alpha}, onde \alpha=\{(1,1,-1),(1,0,1),(1,0,2)\}.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear \;T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,
T(x,y,z) = (3x - y,\;2y - z,\;x + z),
e pede:
– em (a) a matriz de T na base canônica C;
– em (b) a matriz de T na base \alpha = \{v_1,v_2,v_3\}, com
Para [T]_{\alpha}^{\alpha}\) vamos calcular \(T(v_j)\) e expressar cada um em coordenas da base \(\alpha\).
Primeiro,
\[T(v_1) = T(1,1,-1) = (2,\,3,\,0).
Queremos a,b,c tais que
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = (2,3,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a + b + c = 2,\\\ a = 3,\\\\ -\,a + b + 2c = 0. \end{cases}
Da segunda equação a=3\]. Substituindo nas outras vem
\[b + c = -1,\quad b + 2c = 3\]
\(\implies c=4,\;b=-5.
Portanto a primeira coluna de [T]_{\alpha}^{\alpha} é (a,b,c) = (3,\,-5,\,4).
Passo 4
Agora
T(v_2) = T(1,0,1) = (3,\,-1,\,2).
Procuramos \tilde a,\tilde b,\tilde c\) tais que
\[\tilde a\,v_1 + \tilde b\,v_2 + \tilde c\,v_3 = (3,-1,2).
O sistema vira
\begin{cases} \tilde a + \tilde b + \tilde c = 3,\\\ \tilde a = -1,\\\\ -\,\tilde a + \tilde b + 2\tilde c = 2. \end{cases}
Da equação do meio \tilde a=-1\]. Então
\(\tilde b+\tilde c=4 e \tilde b+2\tilde c=1, daí \tilde c=-3,\;\tilde b=7.
A segunda coluna é (\tilde a,\tilde b,\tilde c)=(-1,7,-3).
Passo 5
Finalmente
T(v_3) = T(1,0,2) = (3,\,-2,\,3),
e queremos \hat a,\hat b,\hat c\) com
\[\hat a\,v_1 + \hat b\,v_2 + \hat c\,v_3 = (3,-2,3),
o que dá o sistema
\begin{cases} \hat a + \hat b + \hat c = 3,\\\ \hat a = -2,\\\\ -\,\hat a + \hat b + 2\hat c = 3. \end{cases}
Da segunda equação \hat a=-2\]. Então
\(\hat b+\hat c=5 e \hat b+2\hat c=1, daí \hat c=-4,\;\hat b=9.
A terceira coluna é (\hat a,\hat b,\hat c)=(-2,9,-4).