Questão 9: Considere a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{3} dada por T(x, y, z)=(3 x-y, 2 y-z, x+z).
a. Determine [T]_{C}^{C}, onde C é a base canônica de R^{3}.
b. Determine [T]_{\alpha}^{\alpha}, onde \alpha=\{(1,1,-1),(1,0,1),(1,0,2)\}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
\;T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,
T(x,y,z) = (3x - y,\;2y - z,\;x + z),
e pede:
– em (a) a matriz de T na base canônica C;
– em (b) a matriz de T na base \alpha = \{v_1,v_2,v_3\}, com
v_1 = (1,1,-1),\quad v_2 = (1,0,1),\quad v_3 = (1,0,2).

Passo 2

Para achar [T]_{C}^{C} basta calcular T(e_i) e usar como colunas:
e_1=(1,0,0)\implies T(e_1)=(3,0,1),\quad e_2=(0,1,0)\implies T(e_2)=(-1,2,0),\quad e_3=(0,0,1)\implies T(e_3)=(0,-1,1).
Logo,
[T]_{C}^{C} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para [T]_{\alpha}^{\alpha}\) vamos calcular \(T(v_j)\) e expressar cada um em coordenas da base \(\alpha\). Primeiro, \[T(v_1) = T(1,1,-1) = (2,\,3,\,0).
Queremos a,b,c tais que
a\,v_1 + b\,v_2 + c\,v_3 = (2,3,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} a + b + c = 2,\\\ a = 3,\\\\ -\,a + b + 2c = 0. \end{cases}
Da segunda equação a=3\]. Substituindo nas outras vem \[b + c = -1,\quad b + 2c = 3\] \(\implies c=4,\;b=-5.
Portanto a primeira coluna de [T]_{\alpha}^{\alpha} é
(a,b,c) = (3,\,-5,\,4).

Passo 4

Agora
T(v_2) = T(1,0,1) = (3,\,-1,\,2).
Procuramos \tilde a,\tilde b,\tilde c\) tais que \[\tilde a\,v_1 + \tilde b\,v_2 + \tilde c\,v_3 = (3,-1,2).
O sistema vira
\begin{cases} \tilde a + \tilde b + \tilde c = 3,\\\ \tilde a = -1,\\\\ -\,\tilde a + \tilde b + 2\tilde c = 2. \end{cases}
Da equação do meio \tilde a=-1\]. Então \(\tilde b+\tilde c=4 e \tilde b+2\tilde c=1, daí
\tilde c=-3,\;\tilde b=7.
A segunda coluna é (\tilde a,\tilde b,\tilde c)=(-1,7,-3).

Passo 5

Finalmente
T(v_3) = T(1,0,2) = (3,\,-2,\,3),
e queremos \hat a,\hat b,\hat c\) com \[\hat a\,v_1 + \hat b\,v_2 + \hat c\,v_3 = (3,-2,3),
o que dá o sistema
\begin{cases} \hat a + \hat b + \hat c = 3,\\\ \hat a = -2,\\\\ -\,\hat a + \hat b + 2\hat c = 3. \end{cases}
Da segunda equação \hat a=-2\]. Então \(\hat b+\hat c=5 e \hat b+2\hat c=1, daí
\hat c=-4,\;\hat b=9.
A terceira coluna é (\hat a,\hat b,\hat c)=(-2,9,-4).

Passo 6

Juntando as colunas encontradas,
[T]_{\alpha}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -2\\\\ -5 & 7 & 9\\\\ 4 & -3 & -4 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) [T]_{C}^{C} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(b) [T]_{\alpha}^{\alpha} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -2\\\\ -5 & 7 & 9\\\\ 4 & -3 & -4 \end{pmatrix}

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