Questão 1.9

Considere os vetores v=2 i-j-3 k, w=i+2 j+4 k \in \mathbb{R}^{3}.
a) Calcule o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se v e w são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se u=(0,0,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
d) Encontre vetores x, y \in \mathbb{R}^{3} tais que v=x+y, y \perp w e x \| w.
e) Calcule o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores v e w em \mathbb{R}^3 e pede cinco coisas separadas:
  • Dados: \;v=2\,i-j-3\,k e \;w=i+2\,j+4\,k.
  • (a) Calcular o ângulo entre v e w em graus com precisão de uma casa decimal.
  • (b) Dizer se v e w são linearmente independentes.
  • (c) Verificar se u=(0,0,1) pertence ao subespaço gerado por v e w.
  • (d) Encontrar x,y\in\mathbb{R}^3 tais que v=x+y, y\perp w e x\parallel w.
  • (e) Calcular o ângulo entre x e y em graus com precisão de uma casa decimal.
As componentes explícitas (úteis para os cálculos) são:
v=(2,-1,-3),\qquad w=(1,2,4),\qquad u=(0,0,1).

Passo 2

(a) Fórmula do ângulo entre dois vetores usando produto escalar: para vetores a e b,
a\cdot b = \|a\|\,\|b\| \cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre eles, a\cdot b é o produto escalar e \|a\| é a norma de a. Do produto escalar resolvemos
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}.
Vou aplicar isso a v e w.
Calcule o produto escalar v\cdot w:
v\cdot w = 2\cdot1 + (-1)\cdot2 + (-3)\cdot4 = 2 - 2 - 12 = -12.
Calcule as normas \|v\| e \|w\|:
\|v\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{4+1+9}=\sqrt{14},
\|w\|=\sqrt{1^2+2^2+4^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}.
Logo
\cos\theta = \frac{-12}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}}=\frac{-12}{\sqrt{294}}.
Agora obtenha numericamente o valor e o ângulo em graus. Calculando numericamente:
\cos\theta \approx -0,699854214\quad\Rightarrow\quad \theta=\operatorname{arccos}(-0,699854214).
Convertendo para graus:
\theta \approx 134,4^\circ.

Passo 3

(b) Teste de independência linear para dois vetores: dois vetores não-nulos são linearmente independentes se nenhum é múltiplo escalar do outro. Para verificar se existe \alpha tal que v=\alpha w, compare componentes:
2=\alpha\cdot1 \Rightarrow \alpha=2.
Com \alpha=2 a segunda componente exigiria -1=2\cdot2=4, o que é falso. Portanto não existe \alpha que satisfaça, logo v e w são linearmente independentes.

Passo 4

(c) Verificar se u=(0,0,1) pertence a \operatorname{span}\{v,w\} significa procurar escalares a,b tais que
a v + b w = u.
Escrevendo em componentes:
2a + b = 0,
- a + 2b = 0,
-3a + 4b = 1.
Resolva as duas primeiras equações e verifique a terceira. Da primeira temos b=-2a. Substituindo na segunda:
- a + 2(-2a) = -a -4a = -5a = 0 \Rightarrow a=0,
então b=0. Com a=b=0 a terceira equação dá
-3\cdot0 + 4\cdot0 = 0 \neq 1,
contradição. Logo não existem a,b que representem u como combinação linear de v e w. Portanto u\notin\operatorname{span}\{v,w\}.

Passo 5

(d) Queremos decompor v em v=x+y com x\parallel w e y\perp w. Esse é o procedimento padrão de decomposição em componente paralela e perpendicular a w:
  • A componente x paralela a w é a projeção de v sobre w:
x = \operatorname{proj}_w v = \frac{v\cdot w}{w\cdot w}\,w.
  • A componente y é y = v - x, e por construção y\perp w.
Calcule v\cdot w e w\cdot w (já temos v\cdot w=-12 e \;w\cdot w=\|w\|^2=21):
\operatorname{proj}_w v = \frac{-12}{21}\,w = -\frac{4}{7}\,w.
Como w=(1,2,4), temos
x = -\frac{4}{7}(1,2,4)=\left(-\frac{4}{7},-\frac{8}{7},-\frac{16}{7}\right).
Agora y=v-x:
y = (2,-1,-3) - \left(-\frac{4}{7},-\frac{8}{7},-\frac{16}{7}\right) = \left(2+\frac{4}{7},\,-1+\frac{8}{7},\,-3+\frac{16}{7}\right).
Calcule as frações:
y=\left(\frac{18}{7},\,\frac{1}{7},\,-\frac{5}{7}\right).
Verificação rápida de ortogonalidade (checar que y\cdot w=0):
y\cdot w = \frac{18}{7}\cdot1 + \frac{1}{7}\cdot2 + \left(-\frac{5}{7}\right)\cdot4 = \frac{18+2-20}{7}=0,
confirmando y\perp w.

Passo 6

(e) Ângulo entre x e y. Observação conceitual rápida: se x é paralelo a w e y é perpendicular a w, então x é perpendicular a y. Formalmente, como x é múltiplo de w e y\cdot w=0, temos x\cdot y = \lambda (w\cdot y)=0. Podemos verificar computando o produto escalar:
x\cdot y = \left(-\frac{4}{7}\right)\frac{18}{7} + \left(-\frac{8}{7}\right)\frac{1}{7} + \left(-\frac{16}{7}\right)\left(-\frac{5}{7}\right) = \frac{-72-8+80}{49}=0.
Produto escalar zero implica ângulo de 90^\circ. Portanto, o ângulo entre x e y é
90,0^\circ.

Resposta

a) \theta\approx 134,4^\circ
b) Sim — v e w são linearmente independentes.
c) Não — u\notin\operatorname{span}\{v,w\}.
d) \displaystyle x=\left(-\frac{4}{7},-\frac{8}{7},-\frac{16}{7}\right),\quad y=\left(\frac{18}{7},\frac{1}{7},-\frac{5}{7}\right)
e) 90,0^\circ

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