Questão 1.9
Considere os vetores
.
a) Calcule o ângulo entre
e
em graus com precisão de uma casa decimal.
b) Determine se
e
são vetores linearmente independentes.
c) Verifique se
pertence ao subespaço gerado por
e
.
d) Encontre vetores
tais que
e
.
e) Calcule o ângulo entre
e
em graus com precisão de uma casa decimal.
a) Calcule o ângulo entre
b) Determine se
c) Verifique se
d) Encontre vetores
e) Calcule o ângulo entre
Passo 1
O enunciado fornece os vetores
e
em
e pede cinco coisas separadas:
- Dados:
e . - (a) Calcular o ângulo entre
e em graus com precisão de uma casa decimal. - (b) Dizer se
e são linearmente independentes. - (c) Verificar se
pertence ao subespaço gerado por e . - (d) Encontrar
tais que , e . - (e) Calcular o ângulo entre
e em graus com precisão de uma casa decimal.
As componentes explícitas (úteis para os cálculos) são:
Passo 2
(a) Fórmula do ângulo entre dois vetores usando produto escalar: para vetores
e
,
onde
é o ângulo entre eles,
é o produto escalar e
é a norma de
. Do produto escalar resolvemos
Vou aplicar isso a
e
.
Calcule o produto escalar
:
Calcule as normas
e
:
Logo
Agora obtenha numericamente o valor e o ângulo em graus. Calculando numericamente:
Convertendo para graus:
Passo 3
(b) Teste de independência linear para dois vetores: dois vetores não-nulos são linearmente independentes se nenhum é múltiplo escalar do outro. Para verificar se existe
tal que
, compare componentes:
Com
a segunda componente exigiria
, o que é falso. Portanto não existe
que satisfaça, logo
e
são linearmente independentes.
Passo 4
(c) Verificar se
pertence a
significa procurar escalares
tais que
Escrevendo em componentes:
Resolva as duas primeiras equações e verifique a terceira. Da primeira temos
. Substituindo na segunda:
então
. Com
a terceira equação dá
contradição. Logo não existem
que representem
como combinação linear de
e
. Portanto
.
Passo 5
(d) Queremos decompor
em
com
e
. Esse é o procedimento padrão de decomposição em componente paralela e perpendicular a
:
- A componente
paralela a é a projeção de sobre :
- A componente
é , e por construção .
Calcule
e
(já temos
e
):
Como
, temos
Agora
:
Calcule as frações:
Verificação rápida de ortogonalidade (checar que
):
confirmando
.
Passo 6
(e) Ângulo entre
e
. Observação conceitual rápida: se
é paralelo a
e
é perpendicular a
, então
é perpendicular a
. Formalmente, como
é múltiplo de
e
, temos
. Podemos verificar computando o produto escalar:
Produto escalar zero implica ângulo de
. Portanto, o ângulo entre
e
é
Resposta
a)
b) Sim — e
são linearmente independentes.
c) Não — .
d)
e)
b) Sim —
c) Não —
d)
e)