Questão 7.8
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
subespaço de
.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado tem quatro itens. Vou listar claramente o que se pede e os dados fornecidos para não nos perdermos:
- (a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
- (b) Mostrar que o conjunto
é um subespaço de . - (c) Determinar uma base de
e a dimensão de . - (d) Aplicar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de
.
Informações dadas:
A partir daqui eu começo a resolver cada item passo a passo.
Passo 2
(a) Definições (explicadas de forma didática)
-
Base: Uma coleção de vetores
de um espaço vetorial é chamada de base se duas condições são satisfeitas: - Geram
: todo vetor pode ser escrito como combinação linear
para alguns escalares.
2. São linearmente independentes: a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, seentão todos ossão zero. Intuição: a base é um conjunto “mínimo” que consegue gerar todo o espaço, sem redundância. - Geram
-
Dimensão: A dimensão de um espaço vetorial
é o número de vetores em qualquer base de . Ou seja, se existe uma base com vetores, então . Teorema importante: todas as bases de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores.
Exemplo rápido e concreto: em
a base usual é
e
.
Passo 3
(b) Mostrar que
é subespaço de
.
Para provar que um subconjunto
é subespaço basta mostrar três coisas:
- O vetor zero pertence a
. -
é fechado sob soma: se então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e então .
Aplicando ao nosso
:
-
Vetor zero:
satisfaz . Logo . -
Fechamento por soma: sejam
e . Então
Somando as duas igualdades:
ou seja
satisfaz a equação que define
. Logo
.
- Fechamento por escalar: seja
e . Como , multiplicando por obtemos
ou seja
.
Como os três itens valem,
é subespaço de
.
Passo 4
(c) Determinar uma base de
e a dimensão de
.
Vamos parametrizar os vetores de
. A condição é
Isolando
em função de
:
Então um vetor geral de
tem a forma
Agora escrevemos isso como combinação linear dos parâmetros
:
Assim todo vetor de
é combinação linear dos vetores
Portanto
.
Agora precisamos verificar que
é linearmente independente (ou, se houver dependência, extrair uma base independente). Vamos checar independência:
Suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
Da coordenada
vem
. Da coordenada
vem
. Da coordenada
vem
. Logo
. Portanto os vetores são linearmente independentes.
Conclusão:
é uma base de
. Logo
Comentário intuitivo: a equação linear única impõe uma restrição a
, por isso esperávamos dimensão
.
Passo 5
(d) Método de Gram–Schmidt e aplicação para obter uma base ortogonal de
.
Primeiro, o que é Gram–Schmidt? É um procedimento que pega uma base qualquer
de um subespaço de
e constrói uma base ortogonal
do mesmo subespaço. A fórmula central usa projeções com o produto interno padrão (produto escalar) em
:
onde
.
O algoritmo (passo a passo):
- Tomar
. - Definir
- Definir
(Se tivéssemos mais vetores, continuaríamos análogamente.)
Vou aplicar isto aos vetores que já encontramos:
Calculemos passo a passo (produto interno é a soma dos produtos coordenada a coordenada).
-
.
Calcule
:
- Projeção de
sobre :
Logo
Para simplificar a escrita e evitar frações, podemos multiplicar
por
— isto não altera ortogonalidade nem o espaço gerado — e definir
Note que
é ortogonal a
, pois escalares não afetam ortogonalidade:
- Agora
. Primeiro calculemos projeções de em e .
Como
Agora com
:
Portanto
Agora
Substituindo:
Calculemos coordenada a coordenada:
Novamente, para evitar frações multiplicamos
por
(não altera ortogonalidade nem a geração do espaço) e definimos
Verificações rápidas:
-
é ortogonal a : . -
é ortogonal a : .
Também é bom checar que cada
realmente pertence a
(deveria, já que são combinações lineares dos
que estão em
):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Portanto uma base ortogonal de
é, por exemplo,
Se quiser uma base ortonormal, basta normalizar cada vetor dividindo pelo seu comprimento (norma), mas o enunciado pediu base ortogonal, então não é necessário normalizar.
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial
é um conjunto de vetores que gera
e é linearmente independente. A dimensão de
é o número de vetores em qualquer base de
.
(b)
é subespaço de
(contém o vetor zero, é fechado sob soma e multiplicação escalar).
(c) Uma base de
é
e
.
(d) Uma base ortogonal de
obtida por Gram–Schmidt é