Questão 6.10
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base
e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores
pertencem a W .
d) Determine se o conjunto
é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre
e
, em graus com precisão de uma casa decimal.
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base
c) Determine se os vetores
d) Determine se o conjunto
e) Calcule o ângulo entre
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas:
- (a) Definir “base” e “dimensão” de um espaço vetorial.
- (b) Determinar uma base
e a dimensão de um subespaço vetorial não trivial chamado (nota: a definição explícita de deveria vir da “questão anterior”, que não foi enviada). - (c) Verificar se os vetores
e pertencem a . - (d) Verificar se
é uma base de ou pode ser parte de uma base de , com justificativa. - (e) Calcular o ângulo entre
e em graus, com uma casa decimal.
Informações fornecidas no enunciado:
- Os vetores
e valem, respectivamente, e (estes eu tenho). - Foi dito que
é “um subespaço vetorial não trivial da questão anterior”, mas a descrição concreta de (por exemplo: geradores, equações, ou condição) NÃO foi fornecida aqui.
Observação crucial: sem a descrição explícita de
(por exemplo, uma lista de vetores que geram
ou equações que definem
), não é possível concretamente resolver as partes (b), (c) e decidir completamente a parte (d). Vou:
- (i) explicar de forma didática e passo a passo como se resolve cada item quando
estiver disponível, - (ii) executar tudo o que for possível sem conhecer
(por exemplo, posso checar independência linear entre e e calcular o ângulo entre eles), - (iii) indicar claramente quando a falta de
impede uma resposta numérica ou definitiva.
Passo 2
Definições didáticas (resposta à letra (a)) — vou explicar devagar, sem pular passos, com exemplos simples.
Definição de base:
- Seja
um espaço vetorial (por exemplo, ou um subespaço dele). - Um conjunto
é uma base de se satisfaz duas propriedades: -
gera : isso significa que qualquer vetor pode ser escrito como combinação linear para alguns escalares . - Os vetores em
são linearmente independentes: a única solução da equação é .
-
- Intuição: uma base é um conjunto mínimo (sem redundância) que ainda consegue gerar todo o espaço.
Exemplo concreto: no
, os vetores
e
formam uma base padrão — geram todo
e são independentes.
Definição de dimensão:
- A dimensão de um espaço vetorial
, denotada , é o número de vetores em qualquer base de . - Teorema importante: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de elementos, então
é bem definida. - Exemplo:
, . Se é uma reta através da origem em , então . Se é um plano passando pela origem em , então .
Passo 3
Como determinar (praticamente) uma base
e a dimensão de um subespaço
— algoritmo passo a passo (para responder (b) quando
for conhecido).
Situações típicas:
pode ser dado de duas maneiras comuns:
- Por um conjunto de geradores (por exemplo,
). - Por equações lineares homogêneas (por exemplo,
).
Procedimento quando
é dado por geradores
:
- Coloque os vetores
como colunas (ou linhas) de uma matriz . - Faça eliminação de Gauss (redução para a forma escalonada ou RREF).
- Identifique as colunas pivô: os vetores correspondentes às colunas pivô formam uma base de
. - A dimensão
é o número de colunas pivô (ou, equivalentemente, o posto ).
Explicação didática do porquê: a eliminação remove redundâncias (combinações lineares), restando um conjunto independente que ainda gera o espaço.
Exemplo rápido e simples (para ver o processo em ação):
- Se
, - Colunas formam a matriz
. - Reduzindo, veremos que a segunda coluna é múltipla da primeira, então colunas pivô podem ser a 1ª e a 3ª.
- Então uma base é
e . (Exemplo ilustrativo.)
- Colunas formam a matriz
Procedimento quando
é dado por equações
:
- Resolva o sistema linear homogêneo por eliminação; parâmetros livres definem uma base do espaço solução.
- Escreva a solução geral como combinação linear de vetores parâmetros; esses vetores são uma base e o número de parâmetros livres é
.
Observação: sem saber qual das duas (ou outra) formas define
neste problema, não posso calcular uma base concreta
nem dar
numéricas.
Passo 4
Como testar se um vetor
(por exemplo
ou
) pertence a
— método passo a passo (resposta ao item (c) quando
for conhecido).
Se
é dado por geradores
:
- Queremos ver se existem escalares
tais que - Coloque isto como um sistema linear: a matriz
cujas colunas são e equacione . - Resolva por eliminação. Se o sistema for compatível, então
; se for incompatível, .
Se
é dado por equações
:
- Substitua
diretamente: calcule . Se , então ; caso contrário, não.
Importante: sem a descrição de
eu não posso efetivamente resolver
nem calcular
— então partes concretas ficam pendentes até eu ter
.
Passo 5
Verificação prática possível sem
: testar independência linear de
e discutir consequências para a parte (d).
Primeiro, vou checar se
e
são múltiplos um do outro (caso em que seriam dependentes). Dados:
Dois vetores em
são linearmente dependentes se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Compare coordenadas: para ter
precisaríamos de
Da segunda equação
segue que isso não é possível (a menos que
, o que é falso). Logo
não é múltiplo de
. Portanto
e
são linearmente independentes.
Prova alternativa por eliminação:
- Considere
. Isso dá o sistema - Da segunda equação
obtemos . Então da primeira tem . Só a solução trivial existe, logo são independentes. - Conclusão:
é um conjunto linearmente independente de dois vetores em .
Consequências para (d):
- Como
é independente, pode ser parte de uma base de qualquer subespaço que os contenha (isto é, qualquer tal que ) — nesse caso pode-se completar o conjunto a uma base de (se ) ou já formar uma base de (se e ). - Sem conhecer
não dá para afirmar se é uma base de (isso depende de se eles realmente estão em e se ). Mas está claro que eles são pelo menos candidatos válidos (isto é, não há dependência que impeça serem parte de uma base).
Passo 6
Cálculo do ângulo entre
e
— resposta ao item (e). Vou mostrar tudo passo a passo e explicar a teoria usada.
Fórmula do cosseno do ângulo:
- Para vetores
e em , o produto escalar (dot product) é - O ângulo
entre e satisfaz onde é a norma euclidiana.
Cálculos para
e
:
- Produto escalar:
- Normas:
- Cosseno do ângulo:
Podemos simplificar
, então
- Agora o ângulo
em graus:
- Primeiro, computei numericamente
. - Tomando
e convertendo para graus,
obtemos (com precisão de uma casa decimal)
Observações sobre o valor: o cosseno negativo indica que o ângulo é obtuso (entre
e
), e o valor arredondado a uma casa decimal é
.
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial
é um conjunto
que gera
(qualquer vetor de
é combinação linear dos
) e cujos vetores são linearmente independentes (a única combinação linear que dá
é a trivial). A dimensão
é o número de vetores em qualquer base de
.
(b) Não é possível determinar uma base
nem dar
concretos porque a descrição explícita de
(da “questão anterior”) não foi fornecida neste enunciado.
(c) Não é possível afirmar se
e
pertencem a
sem conhecer a descrição de
. O procedimento para verificar seria resolver
e
onde as colunas de
geram
, ou testar
e
se
for dado por
.
(d) Os vetores
e
são linearmente independentes (logo podem ser parte de uma base de qualquer subespaço que os contenha). Portanto:
-
pode ser parte de uma base de desde que . -
é base de exatamente quando (i.e., quando e os dois vetores geram ). Sem a definição de não dá para afirmar que é base de .
(e)