Questão 6.10
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(1,0,-1,2), w=(2,3,1,-2) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas:
  • (a) Definir “base” e “dimensão” de um espaço vetorial.
  • (b) Determinar uma base \alpha e a dimensão de um subespaço vetorial não trivial chamado W (nota: a definição explícita de W deveria vir da “questão anterior”, que não foi enviada).
  • (c) Verificar se os vetores \boldsymbol{v}=(1,0,-1,2) e \boldsymbol{w}=(2,3,1,-2) pertencem a W.
  • (d) Verificar se \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W ou pode ser parte de uma base de W, com justificativa.
  • (e) Calcular o ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} em graus, com uma casa decimal.
Informações fornecidas no enunciado:
  • Os vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} valem, respectivamente, \boldsymbol{v}=(1,0,-1,2) e \boldsymbol{w}=(2,3,1,-2) (estes eu tenho).
  • Foi dito que W é “um subespaço vetorial não trivial da questão anterior”, mas a descrição concreta de W (por exemplo: geradores, equações, ou condição) NÃO foi fornecida aqui.
Observação crucial: sem a descrição explícita de W (por exemplo, uma lista de vetores que geram W ou equações que definem W), não é possível concretamente resolver as partes (b), (c) e decidir completamente a parte (d). Vou:
  • (i) explicar de forma didática e passo a passo como se resolve cada item quando W estiver disponível,
  • (ii) executar tudo o que for possível sem conhecer W (por exemplo, posso checar independência linear entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} e calcular o ângulo entre eles),
  • (iii) indicar claramente quando a falta de W impede uma resposta numérica ou definitiva.

Passo 2

Definições didáticas (resposta à letra (a)) — vou explicar devagar, sem pular passos, com exemplos simples.
Definição de base:
  • Seja V um espaço vetorial (por exemplo, \mathbb{R}^n ou um subespaço dele).
  • Um conjunto B=\{\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_k\}\subseteq V é uma base de V se satisfaz duas propriedades:
    1. B gera V: isso significa que qualquer vetor \boldsymbol{x}\in V pode ser escrito como combinação linear \boldsymbol{x} = c_1\boldsymbol{b}_1 + c_2\boldsymbol{b}_2 + \cdots + c_k\boldsymbol{b}_kpara alguns escalares c_1,\dots,c_k.
    2. Os vetores em B são linearmente independentes: a única solução da equação a_1\boldsymbol{b}_1+\cdots+a_k\boldsymbol{b}_k=\boldsymbol{0}é a_1=\cdots=a_k=0.
  • Intuição: uma base é um conjunto mínimo (sem redundância) que ainda consegue gerar todo o espaço.
Exemplo concreto: no \mathbb{R}^2, os vetores (1,0) e (0,1) formam uma base padrão — geram todo \mathbb{R}^2 e são independentes.
Definição de dimensão:
  • A dimensão de um espaço vetorial V, denotada \dim V, é o número de vetores em qualquer base de V.
  • Teorema importante: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de elementos, então \dim V é bem definida.
  • Exemplo: \dim\mathbb{R}^2 = 2, \dim\mathbb{R}^4 = 4. Se W é uma reta através da origem em \mathbb{R}^4, então \dim W=1. Se W é um plano passando pela origem em \mathbb{R}^4, então \dim W=2.

Passo 3

Como determinar (praticamente) uma base \alpha e a dimensão de um subespaço W — algoritmo passo a passo (para responder (b) quando W for conhecido).
Situações típicas: W pode ser dado de duas maneiras comuns:
  1. Por um conjunto de geradores (por exemplo, W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}).
  2. Por equações lineares homogêneas (por exemplo, W=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}).
Procedimento quando W é dado por geradores \{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}:
  • Coloque os vetores \boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m como colunas (ou linhas) de uma matriz M.
  • Faça eliminação de Gauss (redução para a forma escalonada ou RREF).
  • Identifique as colunas pivô: os vetores correspondentes às colunas pivô formam uma base de W.
  • A dimensão \dim W é o número de colunas pivô (ou, equivalentemente, o posto \operatorname{rank}(M)).
Explicação didática do porquê: a eliminação remove redundâncias (combinações lineares), restando um conjunto independente que ainda gera o espaço.
Exemplo rápido e simples (para ver o processo em ação):
  • Se W=\operatorname{span}\{(1,2),(2,4),(0,1)\}\subset\mathbb{R}^2,
    • Colunas formam a matriz \begin{pmatrix}1&2&0\\\ 2&4&1\end{pmatrix}.
    • Reduzindo, veremos que a segunda coluna é múltipla da primeira, então colunas pivô podem ser a 1ª e a 3ª.
    • Então uma base é \{(1,2),(0,1)\} e \dim W=2. (Exemplo ilustrativo.)
Procedimento quando W é dado por equações A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}:
  • Resolva o sistema linear homogêneo por eliminação; parâmetros livres definem uma base do espaço solução.
  • Escreva a solução geral como combinação linear de vetores parâmetros; esses vetores são uma base e o número de parâmetros livres é \dim W.
Observação: sem saber qual das duas (ou outra) formas define W neste problema, não posso calcular uma base concreta \alpha nem dar \dim W numéricas.

Passo 4

Como testar se um vetor \boldsymbol{y} (por exemplo \boldsymbol{v} ou \boldsymbol{w}) pertence a W — método passo a passo (resposta ao item (c) quando W for conhecido).
Se W é dado por geradores \{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}:
  • Queremos ver se existem escalares c_1,\dots,c_m tais que \boldsymbol{y} = c_1\boldsymbol{u}_1 + \cdots + c_m\boldsymbol{u}_m.
  • Coloque isto como um sistema linear: a matriz M cujas colunas são \boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m e equacione M\boldsymbol{c}=\boldsymbol{y}.
  • Resolva por eliminação. Se o sistema for compatível, então \boldsymbol{y}\in W; se for incompatível, \boldsymbol{y}\notin W.
Se W é dado por equações A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}:
  • Substitua \boldsymbol{y} diretamente: calcule A\boldsymbol{y}. Se A\boldsymbol{y}=\boldsymbol{0}, então \boldsymbol{y}\in W; caso contrário, não.
Importante: sem a descrição de W eu não posso efetivamente resolver M\boldsymbol{c}=\boldsymbol{y} nem calcular A\boldsymbol{y} — então partes concretas ficam pendentes até eu ter W.

Passo 5

Verificação prática possível sem W: testar independência linear de \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} e discutir consequências para a parte (d).
Primeiro, vou checar se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} são múltiplos um do outro (caso em que seriam dependentes). Dados:
\boldsymbol{v}=(1,0,-1,2),\qquad \boldsymbol{w}=(2,3,1,-2).
Dois vetores em \mathbb{R}^4 são linearmente dependentes se e somente se um é múltiplo escalar do outro. Compare coordenadas: para ter \boldsymbol{w}=k\boldsymbol{v} precisaríamos de
2 = k\cdot 1,\quad 3 = k\cdot 0,\quad 1 = k\cdot(-1),\quad -2 = k\cdot 2.
Da segunda equação 3 = k\cdot 0 segue que isso não é possível (a menos que 3=0, o que é falso). Logo \boldsymbol{w} não é múltiplo de \boldsymbol{v}. Portanto \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} são linearmente independentes.
Prova alternativa por eliminação:
  • Considere a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}. Isso dá o sistema a+2b=0,\quad 0a+3b=0,\quad -a+1b=0,\quad 2a-2b=0.
  • Da segunda equação 3b=0 obtemos b=0. Então da primeira a+2\cdot 0=0 tem a=0. Só a solução trivial existe, logo são independentes.
  • Conclusão: \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é um conjunto linearmente independente de dois vetores em \mathbb{R}^4.
Consequências para (d):
  • Como \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é independente, pode ser parte de uma base de qualquer subespaço W que os contenha (isto é, qualquer W tal que \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in W) — nesse caso pode-se completar o conjunto a uma base de W (se \dim W>2) ou já formar uma base de W (se \dim W=2 e W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\}).
  • Sem conhecer W não dá para afirmar se \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W (isso depende de se eles realmente estão em W e se \dim W=2). Mas está claro que eles são pelo menos candidatos válidos (isto é, não há dependência que impeça serem parte de uma base).

Passo 6

Cálculo do ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} — resposta ao item (e). Vou mostrar tudo passo a passo e explicar a teoria usada.
Fórmula do cosseno do ângulo:
  • Para vetores \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b} em \mathbb{R}^n, o produto escalar (dot product) é \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i.
  • O ângulo \theta entre \boldsymbol{a} e \boldsymbol{b} satisfaz \cos\theta = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\|\boldsymbol{a}\|\;\|\boldsymbol{b}\|},onde \|\boldsymbol{a}\|=\sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}} é a norma euclidiana.
Cálculos para \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}:
  1. Produto escalar:
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w} = 1\cdot 2 + 0\cdot 3 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-2) = 2 + 0 -1 -4 = -3.
  1. Normas:
\|\boldsymbol{v}\| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{1+0+1+4} = \sqrt{6}.
\|\boldsymbol{w}\| = \sqrt{2^2+3^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{4+9+1+4} = \sqrt{18}.
  1. Cosseno do ângulo:
\cos\theta = \frac{-3}{\sqrt{6}\,\sqrt{18}} = \frac{-3}{\sqrt{108}}.
Podemos simplificar \sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}, então
\cos\theta = \frac{-3}{6\sqrt{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{3}}.
  1. Agora o ângulo \theta em graus:
  • Primeiro, computei numericamente \cos\theta \approx -0{,}2886751346.
  • Tomando \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{1}{2\sqrt{3}}\bigr) e convertendo para graus,
    obtemos (com precisão de uma casa decimal) \theta \approx 106{,}7^\circ.
Observações sobre o valor: o cosseno negativo indica que o ângulo é obtuso (entre 90^\circ e 180^\circ), e o valor arredondado a uma casa decimal é 106{,}7^\circ.

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B=\{\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_k\}\subseteq V que gera V (qualquer vetor de V é combinação linear dos \boldsymbol{b}_i) e cujos vetores são linearmente independentes (a única combinação linear que dá \boldsymbol{0} é a trivial). A dimensão \dim V é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar uma base \alpha nem dar \dim W concretos porque a descrição explícita de W (da “questão anterior”) não foi fornecida neste enunciado.
(c) Não é possível afirmar se \boldsymbol{v}=(1,0,-1,2) e \boldsymbol{w}=(2,3,1,-2) pertencem a W sem conhecer a descrição de W. O procedimento para verificar seria resolver M\boldsymbol{c}=\boldsymbol{v} e M\boldsymbol{c}=\boldsymbol{w} onde as colunas de M geram W, ou testar A\boldsymbol{v} e A\boldsymbol{w} se W for dado por A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}.
(d) Os vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} são linearmente independentes (logo podem ser parte de uma base de qualquer subespaço que os contenha). Portanto:
  • \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} pode ser parte de uma base de W desde que \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in W.
  • \beta é base de W exatamente quando W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} (i.e., quando \dim W=2 e os dois vetores geram W). Sem a definição de W não dá para afirmar que \beta é base de W.
(e) \theta \approx 106{,}7^\circ

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