Questão 7.3
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é W=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+2 y-z+t=0 subespaço de \mathbb{R}^{4}.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas:
  1. (a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
  2. (b) Mostrar que o conjunto W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+2y-z+t=0\} é subespaço de \mathbb{R}^4.
  3. (c) Determinar uma base de W e a dimensão de W.
  4. (d) Usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
Informações dadas: o espaço ambiente é \mathbb{R}^4 com o produto interno usual (produto escalar), e W é o subconjunto definido pela equação linear x+2y-z+t=0.

Passo 2

(a) Definições — vou explicar devagar e com exemplos.
Definição de base: Uma família de vetores \{v_1,\dots,v_k\} em um espaço vetorial V é chamada de base de V se satisfaz duas propriedades:
\text{(i) } \{v_1,\dots,v_k\}\\ \text{é linearmente independente,}é
\text{(ii) } \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}=V\\ (\text{ou seja, geram }V).
Explicando: “linearmente independente” significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial; em fórmulas, se \alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0 implica \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. "Geram V" significa que qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos v_i.
Exemplo rápido e intuitivo: em \mathbb{R}^2, os vetores (1,0) e (0,1) formam uma base porque são independentes e qualquer vetor (a,b) é a(1,0)+b(0,1).
Definição de dimensão: A dimensão de um espaço vetorial V, denotada \dim V, é o número de vetores em qualquer base de V. Um teorema garante que todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, então a dimensão está bem definida. Exemplo: \dim \mathbb{R}^n = n.

Passo 3

Comentário prático sobre como provar linearidade e que um conjunto é base na prova de uma questão:
  • Para mostrar que um conjunto gera W, é suficiente escrever um vetor geral de W como combinação linear dos vetores propostos.
  • Para mostrar independência linear, coloca-se uma combinação linear igual a zero e resolve-se o sistema resultante; se só a solução trivial existe, somos independentes.

Passo 4

(b) Mostrar que W é subespaço de \mathbb{R}^4.
Lembrete: para um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^4 ser subespaço, basta verificar três propriedades:
  1. O vetor zero está em W.
  2. Fechado em soma: se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Fechado em multiplicação por escalar: se u\in W e c\in\mathbb{R} então cu\in W.
Verificações diretas:
  1. O vetor zero é (0,0,0,0). Substituindo na equação x+2y-z+t obtemos 0+2\cdot0-0+0=0. Logo 0\in W.
  2. Seja u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W. Pelo fato de estarem em W,
x_1+2y_1-z_1+t_1=0,\qquad x_2+2y_2-z_2+t_2=0.
Considere u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Então
(x_1+x_2)+2(y_1+y_2)-(z_1+z_2)+(t_1+t_2)
=(x_1+2y_1-z_1+t_1)+(x_2+2y_2-z_2+t_2)=0+0=0.
Logo u+v\in W.
  1. Seja c\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in W. Como x+2y-z+t=0, para cu=(cx,cy,cz,ct) temos
cx+2(cy)-cz+ct = c(x+2y-z+t)=c\cdot 0=0.
Logo cu\in W.
Como as três propriedades valem, W é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 5

(c) Encontrar uma base e a dimensão de W.
Começamos parametrizando os vetores (x,y,z,t) que satisfazem x+2y-z+t=0. Isolando x,
x = -2y + z - t.
Portanto um vetor genérico de W pode ser escrito como
(x,y,z,t)=(-2y+z-t,\;y,\;z,\;t).
Agora escolhemos as variáveis livres y,z,t como parâmetros. Escrevemos a decomposição em combinação linear:
(-2y+z-t,\;y,\;z,\;t)=y(-2,1,0,0)+z(1,0,1,0)+t(-1,0,0,1).
Assim obtemos três vetores que geram W:
v_1 = (-2,1,0,0),\quad v_2=(1,0,1,0),\quad v_3=(-1,0,0,1).

Passo 6

Continuando (c): mostrar que \{v_1,v_2,v_3\} é independente linearmente (logo é base) e concluir a dimensão.
Teste de independência: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3 = 0,
ou explicitamente,
\alpha(-2,1,0,0)+\beta(1,0,1,0)+\gamma(-1,0,0,1)=(0,0,0,0).
Escrevendo componente a componente:
  1. Componente x: -2\alpha+\beta-\gamma=0.
  2. Componente y: \alpha+0+0=\alpha=0.
  3. Componente z: 0+\beta+0=\beta=0.
  4. Componente t: 0+0+\gamma=\gamma=0.
Da segunda equação já vem \alpha=0; então da terceira \beta=0 e da quarta \gamma=0. Portanto só existe a solução trivial, logo os vetores são linearmente independentes.
Como \{v_1,v_2,v_3\} geram W e são independentes, formam uma base de W. Portanto
\text{uma base de }W\\ \text{é }\{(-2,1,0,0),\\ (1,0,1,0),\\ (-1,0,0,1)\}.é
Como a base tem 3 vetores, concluímos que
\dim W = 3.

Passo 7

(d) Método de Gram–Schmidt — explicação breve antes de aplicar.
Gram–Schmidt é um procedimento que, dado um conjunto de vetores linearmente independentes v_1,\dots,v_k em um espaço com produto interno, constrói um conjunto ortogonal u_1,\dots,u_k com o mesmo span, usando a regra
u_1 = v_1,
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2,\quad \text{onde }\operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1,
e em geral
u_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1}\frac{\langle v_j,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}u_i.
O resultado é que \{u_1,\dots,u_k\} é ortogonal e \operatorname{span}\{u_1,\dots,u_k\}=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\}.
Aqui usaremos o produto interno usual em \mathbb{R}^4:
\langle a,b\rangle = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+a_4b_4.

Passo 8

Aplicando Gram–Schmidt aos vetores já obtidos para W:
v_1 = (-2,1,0,0),\quad v_2=(1,0,1,0),\quad v_3=(-1,0,0,1).
Primeiro:
u_1 = v_1 = (-2,1,0,0).
Calcule \langle u_1,u_1\rangle = (-2)^2+1^2+0+0 = 5.

Passo 9

Agora u_2 = v_2 - \dfrac{\langle v_2,u_1\rangle}{\langle u_1,u_1\rangle}u_1.
Calcule \langle v_2,u_1\rangle = 1\cdot(-2)+0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0 = -2.
Logo
\operatorname{proj}_{u_1} v_2 = \frac{-2}{5}u_1 = \frac{-2}{5}(-2,1,0,0)=(4/5,-2/5,0,0).
Portanto
u_2 = v_2 - \operatorname{proj}_{u_1} v_2 = (1,0,1,0)-(4/5,-2/5,0,0)=(1/5,2/5,1,0).
Para evitar frações e obter um vetor inteiro proporcional a u_2, podemos multiplicar u_2 por 5. Definimos
w_2 = 5u_2 = (1,2,5,0).
Observação: w_2 é ortogonal a u_1 porque foi obtido por múltiplo de u_2 e u_2 é ortogonal a u_1.
Verificação rápida: \langle u_1,w_2\rangle = (-2)\cdot1 + 1\cdot2 + 0\cdot5 + 0\cdot0 = -2+2=0.

Passo 10

Agora calculamos u_3 removendo as projeções de v_3 em relação a u_1 e a w_2.
Primeiro, \langle v_3,u_1\rangle = (-1)(-2)+0\cdot1+0\cdot0+1\cdot0 = 2.
Como \langle u_1,u_1\rangle=5, a projeção de v_3 sobre u_1 é
\operatorname{proj}_{u_1} v_3 = \frac{2}{5}u_1 = \left(-\frac{4}{5},\frac{2}{5},0,0\right).
Segundo, usamos w_2 (que é ortogonal a u_1) para projetar v_3 sobre a direção de w_2.
Calcule \langle v_3,w_2\rangle = (-1)\cdot1 + 0\cdot2 + 0\cdot5 + 1\cdot0 = -1.
Calcule \langle w_2,w_2\rangle = 1^2+2^2+5^2+0^2 = 1+4+25=30.
Portanto
\operatorname{proj}_{w_2} v_3 = \frac{-1}{30} w_2 = \left(-\frac{1}{30},-\frac{1}{15},-\frac{1}{6},0\right).
Agora subtraímos as duas projeções de v_3:
u_3 = v_3 - \operatorname{proj}_{u_1} v_3 - \operatorname{proj}_{w_2} v_3.
Fazendo as contas passo a passo:
v_3 - \operatorname{proj}_{u_1} v_3 = (-1,0,0,1)-\left(-\frac{4}{5},\frac{2}{5},0,0\right)=\left(-\tfrac{1}{5},-\tfrac{2}{5},0,1\right).
Subtraindo \operatorname{proj}_{w_2} v_3,
u_3 = \left(-\tfrac{1}{5},-\tfrac{2}{5},0,1\right)-\left(-\tfrac{1}{30},-\tfrac{1}{15},-\tfrac{1}{6},0\right)=\left(-\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6},1\right).
Multiplicando por 6 para eliminar frações, obtemos um vetor inteiro proporcional a u_3:
w_3 = 6u_3 = (-1,-2,1,6).

Passo 11

Verificações finais de ortogonalidade (rápidas):
\langle u_1,w_3\rangle = (-2)(-1)+1(-2)+0\cdot1+0\cdot6 = 2-2=0,
\langle w_2,w_3\rangle = 1(-1)+2(-2)+5(1)+0\cdot6 = -1-4+5=0.
Portanto os vetores u_1, w_2, w_3 são mutuamente ortogonais.
Conclusão: uma base ortogonal de W é, por exemplo,
\{\,(-2,1,0,0),\\ (1,2,5,0),\\ (-1,-2,1,6)\,\}.
(Se desejar uma base ortonormal, bastaria normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma.)

Resposta

(a) Base: família de vetores linearmente independentes que geram o espaço. Dimensão: número de vetores numa base.\n
(b) W é subespaço de \mathbb{R}^4 (contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar).\n
(c) Uma base de W é \{(-2,1,0,0),\\ (1,0,1,0),\\ (-1,0,0,1)\} e \dim W=3.\n
(d) Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt é \{(-2,1,0,0),\\ (1,2,5,0),\\ (-1,-2,1,6)\}.

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