Questão 7.3
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
subespaço de
.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas:
- (a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
- (b) Mostrar que o conjunto
é subespaço de . - (c) Determinar uma base de
e a dimensão de . - (d) Usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de
.
Informações dadas: o espaço ambiente é
com o produto interno usual (produto escalar), e
é o subconjunto definido pela equação linear
.
Passo 2
(a) Definições — vou explicar devagar e com exemplos.
Definição de base: Uma família de vetores
em um espaço vetorial
é chamada de base de
se satisfaz duas propriedades:
Explicando: “linearmente independente” significa que a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial; em fórmulas, se
implica
. "Geram
" significa que qualquer vetor de
pode ser escrito como combinação linear dos
.
Exemplo rápido e intuitivo: em
, os vetores
e
formam uma base porque são independentes e qualquer vetor
é
.
Definição de dimensão: A dimensão de um espaço vetorial
, denotada
, é o número de vetores em qualquer base de
. Um teorema garante que todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, então a dimensão está bem definida. Exemplo:
.
Passo 3
Comentário prático sobre como provar linearidade e que um conjunto é base na prova de uma questão:
- Para mostrar que um conjunto gera
, é suficiente escrever um vetor geral de como combinação linear dos vetores propostos. - Para mostrar independência linear, coloca-se uma combinação linear igual a zero e resolve-se o sistema resultante; se só a solução trivial existe, somos independentes.
Passo 4
(b) Mostrar que
é subespaço de
.
Lembrete: para um subconjunto
ser subespaço, basta verificar três propriedades:
- O vetor zero está em
. - Fechado em soma: se
então . - Fechado em multiplicação por escalar: se
e então .
Verificações diretas:
-
O vetor zero é
. Substituindo na equação obtemos . Logo . -
Seja
e . Pelo fato de estarem em ,
Considere
. Então
Logo
.
- Seja
e . Como , para temos
Logo
.
Como as três propriedades valem,
é subespaço de
.
Passo 5
(c) Encontrar uma base e a dimensão de
.
Começamos parametrizando os vetores
que satisfazem
. Isolando
,
Portanto um vetor genérico de
pode ser escrito como
Agora escolhemos as variáveis livres
como parâmetros. Escrevemos a decomposição em combinação linear:
Assim obtemos três vetores que geram
:
Passo 6
Continuando (c): mostrar que
é independente linearmente (logo é base) e concluir a dimensão.
Teste de independência: suponha que existam escalares
tais que
ou explicitamente,
Escrevendo componente a componente:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Da segunda equação já vem
; então da terceira
e da quarta
. Portanto só existe a solução trivial, logo os vetores são linearmente independentes.
Como
geram
e são independentes, formam uma base de
. Portanto
Como a base tem
vetores, concluímos que
Passo 7
(d) Método de Gram–Schmidt — explicação breve antes de aplicar.
Gram–Schmidt é um procedimento que, dado um conjunto de vetores linearmente independentes
em um espaço com produto interno, constrói um conjunto ortogonal
com o mesmo span, usando a regra
e em geral
O resultado é que
é ortogonal e
.
Aqui usaremos o produto interno usual em
:
Passo 8
Aplicando Gram–Schmidt aos vetores já obtidos para
:
Primeiro:
Calcule
Passo 9
Agora
.
Calcule
Logo
Portanto
Para evitar frações e obter um vetor inteiro proporcional a
, podemos multiplicar
por
. Definimos
Observação:
é ortogonal a
porque foi obtido por múltiplo de
e
é ortogonal a
.
Verificação rápida:
Passo 10
Agora calculamos
removendo as projeções de
em relação a
e a
.
Primeiro,
Como , a projeção de
sobre
é
Como
Segundo, usamos
(que é ortogonal a
) para projetar
sobre a direção de
.
Calcule
Calcule
Portanto
Calcule
Calcule
Portanto
Agora subtraímos as duas projeções de
:
Fazendo as contas passo a passo:
Subtraindo
,
Multiplicando por
para eliminar frações, obtemos um vetor inteiro proporcional a
:
Passo 11
Verificações finais de ortogonalidade (rápidas):
Portanto os vetores
são mutuamente ortogonais.
Conclusão: uma base ortogonal de
é, por exemplo,
(Se desejar uma base ortonormal, bastaria normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma.)
Resposta
(a) Base: família de vetores linearmente independentes que geram o espaço. Dimensão: número de vetores numa base.\n
(b) é subespaço de
(contém o zero, é fechado em soma e em multiplicação por escalar).\n
(c) Uma base de é
e
.\n
(d) Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt é .
(b)
(c) Uma base de
(d) Uma base ortogonal obtida por Gram–Schmidt é