Questão 6.9
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(0,-1,2,3), w=(4,0,-2,1) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado pede as seguintes coisas:
(a) Definir “base” e “dimensão” de um espaço vetorial.
(b) Determinar uma base \alpha e a dimensão do subespaço vetorial W (onde W é dito ser “um subespaço vetorial não trivial da questão anterior”).
(c) Determinar se os vetores \boldsymbol{v}=(0,-1,2,3) e \boldsymbol{w}=(4,0,-2,1) pertencem a W.
(d) Determinar se \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W ou pode ser parte de uma base de W, justificando.
(e) Calcular o ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, em graus com precisão de uma casa decimal.
Informações dadas no enunciado que são relevantes:
Os vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} estão explicitamente fornecidos.
O subespaço W é referido como “o subespaço da questão anterior”, ou seja, a definição explícita de W (por exemplo, pelo sistema de equações que o define ou pelo conjunto de geradores) NÃO foi enviada aqui.
Importante: como a definição concreta de W (a qual depende da “questão anterior”) não foi fornecida, NÃO é possível calcular explicitamente a base de W (item (b)), nem decidir se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W (item (c)), nem afirmar se \beta é base ou pode ser estendida a base de W (item (d)). Vou, portanto, (1) responder didaticamente (parte (a)), (2) mostrar passo a passo como proceder para resolver (b),(c),(d) quando você tiver a definição de W (com um exemplo ilustrativo completo), e (3) calcular o item (e) que é independente da definição de W.
Passo 2
Resposta didática para (a) — definição e entendimento passo a passo.
Definição de base:
\text{Uma base de um espaço vetorial }V\text{ é um conjunto }B=\{\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_k\}\subset V\text{ tal que:}
Os vetores de B são linearmente independentes (nenhum é combinação linear dos outros).
O conjunto B gera V, isto é, \operatorname{span}(B)=V (qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos \boldsymbol{b}_i).
Explicação intuitiva e como verificar na prova:
Linearmente independentes significa que a única solução do sistema
é c_1=\cdots=c_k=0. Na prática, monte a matriz cujas colunas são os \boldsymbol{b}_i e faça eliminação de Gauss; se todas as colunas corresponderem a pivôs (ou não houver coluna redundante), são independentes.
Gerar V significa que, dado um vetor qualquer \boldsymbol{v}\in V, existe uma solução para
Na prova, você resolve esse sistema por eliminação; se sempre houver solução para todo \boldsymbol{v}\in V, então geram.
Definição de dimensão:
\text{A dimensão de }V,\\ \dim(V),
é o número de vetores em qualquer base de V. Teorema importante: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, daí a dimensão ser bem definida.
Exemplo curto para fixar a ideia (sem relação com W do enunciado): no \mathbb{R}^3, o conjunto \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é uma base e \dim(\mathbb{R}^3)=3.
Passo 3
Como encontrar uma base e a dimensão de [W) (resolvendo (b)) — procedimento geral e algoritmo que você deve aplicar na prova, passo a passo.
Casos típicos em que W aparece:
I. W vem dado como o span de vetores: W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}.
II. W vem dado por equações lineares homogêneas: W=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n : A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}.
Método para o caso I (geradores):
Coloque os vetores \boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m como colunas de uma matriz U.
Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar colunas pivô.
As colunas originais correspondentes às colunas pivô formam uma base reduzida de W.
A dimensão \dim(W) é o número de colunas pivô (posto da matriz U).
Método para o caso II (sistema homogêneo):
Escreva o sistema A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} e reduza A por linhas (forma escalonada).
Expresse as variáveis dependentes em função das livres; escreva a solução geral em forma paramétrica:
onde os \boldsymbol{p}_i são vetores de \mathbb{R}^n.
3. O conjunto \{\boldsymbol{p}_1,\dots,\boldsymbol{p}_k\} é uma base de W e \dim(W)=k (número de parâmetros livres).
Exemplo ilustrativo completo (para mostrar o procedimento na prática):
Considere o subespaço fictício
Elimino: subtraindo as equações (segunda menos primeira) dá -2y+z-2t=0\Rightarrow z=2y+2t\]. Substituindo numa equação original, por exemplo na primeira:
\[x+y+(2y+2t)+t=0 \Rightarrow x+3y+3t=0 \Rightarrow x=-3y-3t.\]
3. Escrevo a solução em termos dos parâmetros livres \(y,t:
(x,y,z,t)=y(-3,1,2,0)+t(-3,0,2,1).
Logo uma base para W_{\text{ex}} é
\{(-3,1,2,0),\;(-3,0,2,1)\},
e \dim(W_{\text{ex}})=2.
Observação final para a prova: aplique exatamente um desses métodos conforme W for dado. Se W vier da questão anterior como uma descrição por equações, use o método II; se vier como span, use o método I.]
Passo 4
Como verificar pertença de vetores a W (resolvendo (c)) — procedimento prático que você deve usar na prova.
Se W está dado por equações lineares:
Pegue o vetor candidato \boldsymbol{u}. Substitua suas componentes nas equações que definem W. Se todas as equações homogêneas forem satisfeitas, então \boldsymbol{u}\in W; caso contrário, \boldsymbol{u}\notin W.
Se W está dado como span de geradores \{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}:
Se existir solução, \boldsymbol{u}\in W; se não existir, \boldsymbol{u}\notin W.
Exemplo ilustrativo usando W_{\text{ex}} do passo anterior para verificar os vetores do enunciado (apenas como demonstração — lembrando que W_{\text{ex}} é um exemplo inventado):
Quero ver se \boldsymbol{v}=(0,-1,2,3) pertence a W_{\text{ex}}. Procuro y,t tais que
(-3y-3t,\;y,\;2y+2t,\;t)=(0,-1,2,3).
Da segunda e quarta componentes vem y=-1, t=3. Com esses valores, a primeira componente seria -3(-1)-3(3)=3-9=-6, que não bate com 0. Logo \boldsymbol{v}\notin W_{\text{ex}}. (Isto é só um exemplo de técnica; não conclui nada sobre o W real do seu enunciado.)
Mesmo procedimento para \boldsymbol{w}=(4,0,-2,1) mostraria se \boldsymbol{w}\in W_{\text{ex}} ou não.
Conclusão prática: aplique o teste correspondente assim que você tiver a descrição real de W.
Passo 5
Como decidir se [\beta={\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}}) é base ou pode ser parte de uma base de W (resolvendo (d)) — passo a passo com justificativa e exemplos.
Condições necessárias para \beta ser base de W:
\beta\subset W (os vetores têm de pertencer a W).
\beta é linearmente independente.
O número de vetores de \beta deve ser igual a \dim(W).
Observações úteis:
Se \beta\subset W e \beta é linearmente independente mas |\beta|<\dim(W), então \beta pode ser estendida a uma base de W (teorema de extensão de base): você encontra vetores adicionais em W para completar a base.
Se \beta não está contido em W, então \beta não pode ser base nem parte de base de W.
Para testar independência de \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} você resolve c_1\boldsymbol{v}+c_2\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}. Se a única solução é c_1=c_2=0, são independentes.
Aplicação imediata (independência) para os vetores dados — isso independe de W:
Resolvo c_1\boldsymbol{v}+c_2\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}.
Componentes:
Da primeira equação vem c_2=0\]. Da segunda vem \(c_1=0. Assim a única solução é c_1=c_2=0. Portanto \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é um conjunto linearmente independente.
Conclusão prática:
Você já tem a independência de \beta. Para concluir se \beta é base de W precisa ainda (i) verificar se \beta\subset W, e (ii) comparar |\beta|=2 com \dim(W).
Se \beta\subset W e \dim(W)=2 então \beta é base de W.
Se \beta\subset W e \dim(W)>2 então \beta pode ser estendida a uma base de W.
Se \beta\not\subset W então \beta não pode ser base nem parte de base de W.]
Passo 6
Cálculo do ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} (resolvendo (e)). Este item NÃO depende de W, apenas dos vetores, então podemos calcular numericamente.
Resumo final e instruções práticas para você na prova:
(a) Eu já defini e expliquei o que é base e dimensão no Passo 2.
(b),(c),(d) NÃO podem ser respondidas numericamente sem a definição explícita de W (ela veio da “questão anterior” que não foi fornecida aqui). Eu mostrei nos Passos 3–5 exatamente como você deve proceder assim que tiver a descrição de W: usar eliminação de Gauss para achar base/dimensão se W vier por equações, ou reduzir colunas se vier por geradores; testar pertença substituindo nas equações ou resolvendo combinações lineares; testar independência resolvendo o sistema linear homogêneo.
(e) O ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} é \approx 93{,}3^\circ.
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B=\{\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_k\}\subset V que é linearmente independente e gera V. A dimensão \dim(V) é o número de vetores de qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar \alpha nem \dim(W) porque a definição concreta de W (vinda da questão anterior) não foi fornecida.
(c) Não é possível decidir se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W sem a definição explícita de W.
(d) O conjunto \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é linearmente independente (ver cálculo no Passo 5); porém, para afirmar se é base de W ou pode ser parte de uma base é necessário saber se \beta\subset W e qual é \dim(W). Sem a definição de W não dá para concluir.
(e) \theta\approx 93{,}3^\circ.