Questão 6.9
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(0,-1,2,3), w=(4,0,-2,1) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas:
  • (a) Definir “base” e “dimensão” de um espaço vetorial.
  • (b) Determinar uma base \alpha e a dimensão do subespaço vetorial W (onde W é dito ser “um subespaço vetorial não trivial da questão anterior”).
  • (c) Determinar se os vetores \boldsymbol{v}=(0,-1,2,3) e \boldsymbol{w}=(4,0,-2,1) pertencem a W.
  • (d) Determinar se \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W ou pode ser parte de uma base de W, justificando.
  • (e) Calcular o ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}, em graus com precisão de uma casa decimal.
Informações dadas no enunciado que são relevantes:
  • Os vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} estão explicitamente fornecidos.
  • O subespaço W é referido como “o subespaço da questão anterior”, ou seja, a definição explícita de W (por exemplo, pelo sistema de equações que o define ou pelo conjunto de geradores) NÃO foi enviada aqui.
Importante: como a definição concreta de W (a qual depende da “questão anterior”) não foi fornecida, NÃO é possível calcular explicitamente a base de W (item (b)), nem decidir se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W (item (c)), nem afirmar se \beta é base ou pode ser estendida a base de W (item (d)). Vou, portanto, (1) responder didaticamente (parte (a)), (2) mostrar passo a passo como proceder para resolver (b),(c),(d) quando você tiver a definição de W (com um exemplo ilustrativo completo), e (3) calcular o item (e) que é independente da definição de W.

Passo 2

Resposta didática para (a) — definição e entendimento passo a passo.
Definição de base:
\text{Uma base de um espaço vetorial }V\text{ é um conjunto }B=\{\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_k\}\subset V\text{ tal que:}çé
  1. Os vetores de B são linearmente independentes (nenhum é combinação linear dos outros).
  2. O conjunto B gera V, isto é, \operatorname{span}(B)=V (qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos \boldsymbol{b}_i).
Explicação intuitiva e como verificar na prova:
  • Linearmente independentes significa que a única solução do sistema
c_1\boldsymbol{b}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{b}_k=\boldsymbol{0}
é c_1=\cdots=c_k=0. Na prática, monte a matriz cujas colunas são os \boldsymbol{b}_i e faça eliminação de Gauss; se todas as colunas corresponderem a pivôs (ou não houver coluna redundante), são independentes.
  • Gerar V significa que, dado um vetor qualquer \boldsymbol{v}\in V, existe uma solução para
c_1\boldsymbol{b}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{b}_k=\boldsymbol{v}.
Na prova, você resolve esse sistema por eliminação; se sempre houver solução para todo \boldsymbol{v}\in V, então geram.
Definição de dimensão:
\text{A dimensão de }V,\\ \dim(V),ã
é o número de vetores em qualquer base de V. Teorema importante: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, daí a dimensão ser bem definida.
Exemplo curto para fixar a ideia (sem relação com W do enunciado): no \mathbb{R}^3, o conjunto \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} é uma base e \dim(\mathbb{R}^3)=3.

Passo 3

Como encontrar uma base e a dimensão de [W) (resolvendo (b)) — procedimento geral e algoritmo que você deve aplicar na prova, passo a passo.
Casos típicos em que W aparece:
I. W vem dado como o span de vetores: W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}.
II. W vem dado por equações lineares homogêneas: W=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n : A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}.
Método para o caso I (geradores):
  1. Coloque os vetores \boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m como colunas de uma matriz U.
  2. Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar colunas pivô.
  3. As colunas originais correspondentes às colunas pivô formam uma base reduzida de W.
  4. A dimensão \dim(W) é o número de colunas pivô (posto da matriz U).
Método para o caso II (sistema homogêneo):
  1. Escreva o sistema A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} e reduza A por linhas (forma escalonada).
  2. Expresse as variáveis dependentes em função das livres; escreva a solução geral em forma paramétrica:
\boldsymbol{x}=t_1\boldsymbol{p}_1+\cdots+t_k\boldsymbol{p}_k,
onde os \boldsymbol{p}_i são vetores de \mathbb{R}^n.
3. O conjunto \{\boldsymbol{p}_1,\dots,\boldsymbol{p}_k\} é uma base de W e \dim(W)=k (número de parâmetros livres).
Exemplo ilustrativo completo (para mostrar o procedimento na prática):
Considere o subespaço fictício
W_{\text{ex}}=\{\,(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y+z+t=0,\; x-y+2z-t=0\,\}.
Passos:
  1. Escrevo o sistema:
\begin{cases} x+y+z+t=0,\\[4pt] x-y+2z-t=0. \end{cases}
  1. Elimino: subtraindo as equações (segunda menos primeira) dá -2y+z-2t=0\Rightarrow z=2y+2t\]. Substituindo numa equação original, por exemplo na primeira: \[x+y+(2y+2t)+t=0 \Rightarrow x+3y+3t=0 \Rightarrow x=-3y-3t.\] 3. Escrevo a solução em termos dos parâmetros livres \(y,t:
(x,y,z,t)=y(-3,1,2,0)+t(-3,0,2,1).
  1. Logo uma base para W_{\text{ex}} é
\{(-3,1,2,0),\;(-3,0,2,1)\},
e \dim(W_{\text{ex}})=2.
Observação final para a prova: aplique exatamente um desses métodos conforme W for dado. Se W vier da questão anterior como uma descrição por equações, use o método II; se vier como span, use o método I.]

Passo 4

Como verificar pertença de vetores a W (resolvendo (c)) — procedimento prático que você deve usar na prova.
Se W está dado por equações lineares:
  • Pegue o vetor candidato \boldsymbol{u}. Substitua suas componentes nas equações que definem W. Se todas as equações homogêneas forem satisfeitas, então \boldsymbol{u}\in W; caso contrário, \boldsymbol{u}\notin W.
Se W está dado como span de geradores \{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}:
  • Tente resolver para coeficientes c_1,\dots,c_m em
c_1\boldsymbol{u}_1+\cdots+c_m\boldsymbol{u}_m=\boldsymbol{u}.
  • Se existir solução, \boldsymbol{u}\in W; se não existir, \boldsymbol{u}\notin W.
Exemplo ilustrativo usando W_{\text{ex}} do passo anterior para verificar os vetores do enunciado (apenas como demonstração — lembrando que W_{\text{ex}} é um exemplo inventado):
  • Quero ver se \boldsymbol{v}=(0,-1,2,3) pertence a W_{\text{ex}}. Procuro y,t tais que
(-3y-3t,\;y,\;2y+2t,\;t)=(0,-1,2,3).
Da segunda e quarta componentes vem y=-1, t=3. Com esses valores, a primeira componente seria -3(-1)-3(3)=3-9=-6, que não bate com 0. Logo \boldsymbol{v}\notin W_{\text{ex}}. (Isto é só um exemplo de técnica; não conclui nada sobre o W real do seu enunciado.)
  • Mesmo procedimento para \boldsymbol{w}=(4,0,-2,1) mostraria se \boldsymbol{w}\in W_{\text{ex}} ou não.
Conclusão prática: aplique o teste correspondente assim que você tiver a descrição real de W.

Passo 5

Como decidir se [\beta={\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}}) é base ou pode ser parte de uma base de W (resolvendo (d)) — passo a passo com justificativa e exemplos.
Condições necessárias para \beta ser base de W:
  1. \beta\subset W (os vetores têm de pertencer a W).
  2. \beta é linearmente independente.
  3. O número de vetores de \beta deve ser igual a \dim(W).
Observações úteis:
  • Se \beta\subset W e \beta é linearmente independente mas |\beta|<\dim(W), então \beta pode ser estendida a uma base de W (teorema de extensão de base): você encontra vetores adicionais em W para completar a base.
  • Se \beta não está contido em W, então \beta não pode ser base nem parte de base de W.
  • Para testar independência de \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} você resolve c_1\boldsymbol{v}+c_2\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}. Se a única solução é c_1=c_2=0, são independentes.
Aplicação imediata (independência) para os vetores dados — isso independe de W:
Resolvo c_1\boldsymbol{v}+c_2\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}.
Componentes:
\begin{cases} 0\cdot c_1 + 4\cdot c_2 = 0,\\[4pt] -1\cdot c_1 + 0\cdot c_2 = 0,\\[4pt] 2\cdot c_1 -2\cdot c_2 = 0,\\[4pt] 3\cdot c_1 +1\cdot c_2 = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem c_2=0\]. Da segunda vem \(c_1=0. Assim a única solução é c_1=c_2=0. Portanto \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é um conjunto linearmente independente.
Conclusão prática:
  • Você já tem a independência de \beta. Para concluir se \beta é base de W precisa ainda (i) verificar se \beta\subset W, e (ii) comparar |\beta|=2 com \dim(W).
  • Se \beta\subset W e \dim(W)=2 então \beta é base de W.
  • Se \beta\subset W e \dim(W)>2 então \beta pode ser estendida a uma base de W.
  • Se \beta\not\subset W então \beta não pode ser base nem parte de base de W.]

Passo 6

Cálculo do ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} (resolvendo (e)). Este item NÃO depende de W, apenas dos vetores, então podemos calcular numericamente.
  1. Produto escalar:
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=0\cdot4+(-1)\cdot0+2\cdot(-2)+3\cdot1=0+0-4+3=-1.
  1. Normas:
\|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{0^2+(-1)^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}.
\|\boldsymbol{w}\|=\sqrt{4^2+0^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{16+4+1}=\sqrt{21}.
  1. Cosseno do ângulo:
\cos\theta=\dfrac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}}{\|\boldsymbol{v}\|\,\|\boldsymbol{w}\|}=\dfrac{-1}{\sqrt{14}\,\sqrt{21}}=\dfrac{-1}{\sqrt{294}}.
  1. Ângulo em radianos e depois em graus:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{-1}{\sqrt{294}}\right).
Numericamente, \dfrac{-1}{\sqrt{294}}\approx -0,058327, portanto
\theta\approx 93{,}3^\circ
(aproximação com uma casa decimal).

Passo 7

Resumo final e instruções práticas para você na prova:
  • (a) Eu já defini e expliquei o que é base e dimensão no Passo 2.
  • (b),(c),(d) NÃO podem ser respondidas numericamente sem a definição explícita de W (ela veio da “questão anterior” que não foi fornecida aqui). Eu mostrei nos Passos 3–5 exatamente como você deve proceder assim que tiver a descrição de W: usar eliminação de Gauss para achar base/dimensão se W vier por equações, ou reduzir colunas se vier por geradores; testar pertença substituindo nas equações ou resolvendo combinações lineares; testar independência resolvendo o sistema linear homogêneo.
  • (e) O ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} é \approx 93{,}3^\circ.

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto B=\{\boldsymbol{b}_1,\dots,\boldsymbol{b}_k\}\subset V que é linearmente independente e gera V. A dimensão \dim(V) é o número de vetores de qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar \alpha nem \dim(W) porque a definição concreta de W (vinda da questão anterior) não foi fornecida.
(c) Não é possível decidir se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W sem a definição explícita de W.
(d) O conjunto \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é linearmente independente (ver cálculo no Passo 5); porém, para afirmar se é base de W ou pode ser parte de uma base é necessário saber se \beta\subset W e qual é \dim(W). Sem a definição de W não dá para concluir.
(e) \theta\approx 93{,}3^\circ.

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