Questão 7.4
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é W=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 3 x+y+z-t=0 subespaço de \mathbb{R}^{4}.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas:
  1. (a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
  2. (b) Mostrar que W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 3x+y+z-t=0\} é subespaço de \mathbb{R}^4.
  3. (c) Determinar uma base de W e a dimensão de W.
  4. (d) Usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
Informações dadas:
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 3x+y+z-t=0\}.

Passo 2

(a) Definições — explicação didática e rigorosa.
Definição de base:
\text{Uma família de vetores } \{v_1,\dots,v_k\}\subset V \text{ é uma base de } Víé
se dois requisitos são satisfeitos:
  1. Eles geram V: todo vetor v\in V pode ser escrito como combinação linear
v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k
para alguns escalares \alpha_i.
2. Eles são linearmente independentes: a única solução da igualdade
\beta_1 v_1 + \cdots + \beta_k v_k = 0
é \beta_1=\cdots=\beta_k=0.
Intuição: uma base é um conjunto mínimo de vetores que “geram” tudo sem redundância.
Definição de dimensão:
\text{A dimensão de } V,\\ \dim(V),ã
é o número de vetores de qualquer base de V. Se V admite uma base finita com k vetores, então \dim(V)=k. (Teorema: todas as bases finitas têm o mesmo número de vetores.)

Passo 3

(b) Mostrar que W é subespaço de \mathbb{R}^4.
Regra prática: para provar que W é subespaço linear basta verificar três propriedades:
  1. 0\in W.
  2. Se u,v\in W então u+v\in W.
  3. Se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Verificações:
  1. O vetor zero é (0,0,0,0). Substituindo na equação 3x+y+z-t obtemos 3\cdot 0+0+0-0=0. Logo 0\in W.
  2. Seja u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W. Então
3x_1+y_1+z_1-t_1=0,\qquad 3x_2+y_2+z_2-t_2=0.
Somando as duas iguais, obtemos
3(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)-(t_1+t_2)=0,
portanto u+v\in W.
3. Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in W. Então
3(\lambda x)+(\lambda y)+(\lambda z)-(\lambda t)=\lambda(3x+y+z-t)=\lambda\cdot 0=0,
logo \lambda u\in W.
Portanto W é subespaço de \mathbb{R}^4.

Passo 4

(c) Determinar uma base e a dimensão de [W) — parametrização e escolha de vetores geradores.
A equação que define W é
3x+y+z-t=0.
Para parametrizar, escolhemos variáveis livres. Tome y,a;\\ z=b;\\ t=c como parâmetros a,b,c\in\mathbb{R}. Resolve-se para x:
3x = -y-z+t \quad\Rightarrow\quad x = \frac{-y-z+t}{3}.
Escrevendo o vetor genérico de W:
(x,y,z,t)=\left(\frac{-y-z+t}{3},\,y,\,z,\,t\right).
Substituindo y=a,\\ z=b,\\ t=c:
\begin{aligned} (x,y,z,t) &= a\left(\frac{-1}{3},1,0,0\right) + b\left(\frac{-1}{3},0,1,0\right) + c\left(\frac{1}{3},0,0,1\right). \end{aligned}
Logo W é gerado pelos três vetores
v_1=\left(\frac{-1}{3},1,0,0\right),\quad v_2=\left(\frac{-1}{3},0,1,0\right),\quad v_3=\left(\frac{1}{3},0,0,1\right).
Para evitar frações, podemos multiplicar cada gerador por 3 (não altera o espaço gerado). Defina
u_1 = (-1,3,0,0),\quad u_2 = (-1,0,3,0),\quad u_3 = (1,0,0,3).
Estes vetores pertencem a W (verificar: 3(-1)+3+0-0=0, etc.). Mostramos que são linearmente independentes: suponha
\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + \alpha_3 u_3 = 0.
Escrevendo componente a componente:
\begin{cases} - \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 = 0,\\[4pt] 3\alpha_1 = 0,\\[4pt] 3\alpha_2 = 0,\\[4pt] 3\alpha_3 = 0. \end{cases}
Das últimas três equações vem \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0\]. Portanto \(u_1,u_2,u_3 são linearmente independentes.
Conclusão: \{u_1,u_2,u_3\} é uma base de W. Como tem 3 vetores, temos
\dim(W)=3.]

Passo 5

(d) Método de Gram–Schmidt — explicação do método.
Objetivo: a partir de uma base u_1,u_2,u_3 produzir uma base ortogonal w_1,w_2,w_3 do mesmo subespaço.
Regra (Gram–Schmidt) com o produto interno padrão (produto escalar usual em \mathbb{R}^4):
\langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
Procedimento:
\begin{aligned} w_1 &= u_1,\\[4pt] w_2 &= u_2 - \operatorname{proj}_{w_1} u_2 \quad\text{onde}\quad \operatorname{proj}_{w_1} u_2 = \frac{\langle u_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle} w_1,\\[6pt] w_3 &= u_3 - \operatorname{proj}_{w_1} u_3 - \operatorname{proj}_{w_2} u_3. \end{aligned}
Cada projeção subtrai a componente já presente na direção anterior, garantindo ortogonalidade.]

Passo 6

Aplicando Gram–Schmidt aos vetores escolhidos
u_1 = (-1,3,0,0),\quad u_2 = (-1,0,3,0),\quad u_3 = (1,0,0,3).
Cálculos detalhados:
  1. w_1 = u_1 = (-1,3,0,0).
Calcule \langle w_1,w_1\rangle:
\langle w_1,w_1\rangle = (-1)^2 + 3^2 + 0 + 0 = 1+9=10.
  1. Projeção de u_2 sobre w_1:
\langle u_2,w_1\rangle = (-1)(-1)+0\cdot 3 + 3\cdot 0 + 0 = 1.
\operatorname{proj}_{w_1} u_2 = \frac{1}{10} w_1 = \left(-\frac{1}{10},\frac{3}{10},0,0\right).
Então
w_2 = u_2 - \operatorname{proj}_{w_1} u_2 = \left(-1,0,3,0\right) - \left(-\tfrac{1}{10},\tfrac{3}{10},0,0\right) = \left(-\tfrac{9}{10},-\tfrac{3}{10},3,0\right).
Para trabalhar com inteiros, podemos multiplicar w_2 por 10 (isso preserva ortogonalidade). Defina
\tilde w_2 = 10 w_2 = (-9,-3,30,0).
Verificação rápida: \langle w_1,\tilde w_2\rangle = (-1)(-9)+3(-3)+0\cdot 30 +0 = 9-9=0.

Passo 7

Continuando para w_3.
Primeiro calcule a projeção de u_3 sobre w_1:
\langle u_3,w_1\rangle = (1)(-1)+0\cdot 3 +0 +3\cdot 0 = -1,
\operatorname{proj}_{w_1} u_3 = \frac{-1}{10} w_1 = \left(\frac{1}{10},-\frac{3}{10},0,0\right).
Agora a projeção de u_3 sobre w_2. Usamos w_2 na sua forma não escalada w_2 = (-\tfrac{9}{10},-\tfrac{3}{10},3,0) (fórmula é invariante por escala):
Calcule \langle w_2,w_2\rangle:
\langle w_2,w_2\rangle = \left(-\tfrac{9}{10}\right)^2 + \left(-\tfrac{3}{10}\right)^2 + 3^2 + 0 = \tfrac{81}{100} + \tfrac{9}{100} + 9 = \tfrac{90}{100} + 9 = \tfrac{99}{10}.
Calcule \langle u_3,w_2\rangle:
\langle u_3,w_2\rangle = (1)\left(-\tfrac{9}{10}\right) + 0\left(-\tfrac{3}{10}\right) + 0\cdot 3 + 3\cdot 0 = -\tfrac{9}{10}.
Logo
\operatorname{proj}_{w_2} u_3 = \frac{-\tfrac{9}{10}}{\tfrac{99}{10}}\, w_2 = -\tfrac{9}{99}\, w_2 = -\tfrac{1}{11}\, w_2.
Escrevendo explicitamente:
\operatorname{proj}_{w_2} u_3 = -\tfrac{1}{11}\left(-\tfrac{9}{10},-\tfrac{3}{10},3,0\right) = \left(\tfrac{9}{110},\tfrac{3}{110},-\tfrac{3}{11},0\right).
Agora calcule w_3:
\begin{aligned} w_3 &= u_3 - \operatorname{proj}_{w_1} u_3 - \operatorname{proj}_{w_2} u_3\\[4pt] &= \left(1,0,0,3\right) - \left(\tfrac{1}{10},-\tfrac{3}{10},0,0\right) - \left(\tfrac{9}{110},\tfrac{3}{110},-\tfrac{3}{11},0\right). \end{aligned}
Faça as contas coordenada a coordenada (com denominador 110 quando conveniente):
Primeira coordenada:
1 - \tfrac{1}{10} - \tfrac{9}{110} = \tfrac{9}{10} - \tfrac{9}{110} = \tfrac{99-9}{110} = \tfrac{90}{110} = \tfrac{9}{11}.
Segunda coordenada:
0 - \left(-\tfrac{3}{10}\right) - \tfrac{3}{110} = \tfrac{3}{10} - \tfrac{3}{110} = \tfrac{33-3}{110} = \tfrac{30}{110} = \tfrac{3}{11}.
Terceira coordenada:
0 - 0 - \left(-\tfrac{3}{11}\right) = \tfrac{3}{11}.
Quarta coordenada:
3 - 0 - 0 = 3.
Portanto
w_3 = \left(\tfrac{9}{11},\tfrac{3}{11},\tfrac{3}{11},3\right).
Multiplicando por 11 e simplificando por 3 para obter inteiros pequenos, obtemos um vetor proporcional
\tilde w_3 = 11 w_3 = (9,3,3,33) \quad\text{e dividindo por }3\text{ dá}\quad (3,1,1,11).á
Como multiplicação por escalar não altera ortogonalidade, podemos escolher
w_3' = (3,1,1,11).]

Passo 8

Verificações finais de ortogonalidade (rápidas):
\langle w_1,w_2'\rangle = (-1)(-3)+3(-1)+0\cdot 10 +0 = 3-3=0,
\langle w_1,w_3'\rangle = (-1)\cdot 3 + 3\cdot 1 +0 +0 = -3+3=0,
\langle w_2',w_3'\rangle = (-3)\cdot 3 + (-1)\cdot 1 + 10\cdot 1 +0\cdot 11 = -9-1+10=0.
Aqui escolhemos w_2' = (-3,-1,10,0) que é \tfrac{1}{3}\tilde w_2 (escala de \tilde w_2), e w_3'=(3,1,1,11). Todos pertencem a W e são mutuamente ortogonais. Assim \{w_1,w_2',w_3'\} é uma base ortogonal de W.
Observação: se quiser uma base ortonormal, basta normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma.

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores que geram V e são linearmente independentes. A dimensão de V, \dim(V), é o número de vetores de qualquer base finita de V.
(b) Sim. W contém o vetor zero e é fechada sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço de \mathbb{R}^4.
(c) Uma base conveniente é
\{\,(-1,3,0,0),\;(-1,0,3,0),\;(1,0,0,3)\,\},
portanto \dim(W)=3.
(d) Uma base ortogonal de W (obtida por Gram–Schmidt) é, por exemplo,
\{\,(-1,3,0,0),\;(-3,-1,10,0),\;(3,1,1,11)\,\}.

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