Questão 7.4
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial.
b) Mostre que é W=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid 3 x+y+z-t=0 subespaço de \mathbb{R}^{4}.
c) Determine uma base e a dimensão de W .
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas:
(a) Definir o que é base e o que é dimensão de um espaço vetorial.
(b) Mostrar que W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 3x+y+z-t=0\} é subespaço de \mathbb{R}^4.
(c) Determinar uma base de W e a dimensão de W.
(d) Usar o método de Gram–Schmidt para obter uma base ortogonal de W.
Informações dadas:
W=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid 3x+y+z-t=0\}.
Passo 2
(a) Definições — explicação didática e rigorosa.
Definição de base:
\text{Uma família de vetores } \{v_1,\dots,v_k\}\subset V \text{ é uma base de } V
se dois requisitos são satisfeitos:
Eles geram V: todo vetor v\in V pode ser escrito como combinação linear
v = \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_k v_k
para alguns escalares \alpha_i.
2. Eles são linearmente independentes: a única solução da igualdade
\beta_1 v_1 + \cdots + \beta_k v_k = 0
é \beta_1=\cdots=\beta_k=0.
Intuição: uma base é um conjunto mínimo de vetores que “geram” tudo sem redundância.
Definição de dimensão:
\text{A dimensão de } V,\\ \dim(V),
é o número de vetores de qualquer base de V. Se V admite uma base finita com k vetores, então \dim(V)=k. (Teorema: todas as bases finitas têm o mesmo número de vetores.)
Passo 3
(b) Mostrar que W é subespaço de \mathbb{R}^4.
Regra prática: para provar que W é subespaço linear basta verificar três propriedades:
0\in W.
Se u,v\in W então u+v\in W.
Se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Verificações:
O vetor zero é (0,0,0,0). Substituindo na equação 3x+y+z-t obtemos 3\cdot 0+0+0-0=0. Logo 0\in W.
Seja u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in W e v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in W. Então
3x_1+y_1+z_1-t_1=0,\qquad 3x_2+y_2+z_2-t_2=0.
Somando as duas iguais, obtemos
3(x_1+x_2)+(y_1+y_2)+(z_1+z_2)-(t_1+t_2)=0,
portanto u+v\in W.
3. Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in W. Então
Aqui escolhemos w_2' = (-3,-1,10,0) que é \tfrac{1}{3}\tilde w_2 (escala de \tilde w_2), e w_3'=(3,1,1,11). Todos pertencem a W e são mutuamente ortogonais. Assim \{w_1,w_2',w_3'\} é uma base ortogonal de W.
Observação: se quiser uma base ortonormal, basta normalizar cada vetor dividindo-o pela sua norma.
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores que geram V e são linearmente independentes. A dimensão de V, \dim(V), é o número de vetores de qualquer base finita de V.
(b) Sim. W contém o vetor zero e é fechada sob soma e multiplicação escalar, logo é subespaço de \mathbb{R}^4.
(c) Uma base conveniente é
\{\,(-1,3,0,0),\;(-1,0,3,0),\;(1,0,0,3)\,\},
portanto \dim(W)=3.
(d) Uma base ortogonal de W (obtida por Gram–Schmidt) é, por exemplo,