Questão 13. Determine a interseção da reta r com o plano \pi, nos seguintes casos:
r:\left\{\begin{array}{l}x=t \\\ y=-3-3 t, t \in \mathbb{R} . \text { e } \pi: x+y+2 z-1=0 \\\ z=-t\end{array}\right.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a reta r dada por
x = t,\quad y = -3 - 3t,\quad z = -t,\quad t\in\mathbb{R}
e o plano \pi com equação
x + y + 2z - 1 = 0.
Queremos encontrar o ponto onde r corta \pi, ou seja, achar o valor de t tal que as coordenadas de r satisfaçam a equação do plano.

Passo 2

Substituindo x = t, y = -3 - 3t e z = -t na equação de \pi, obtemos
t + (-3 - 3t) + 2(-t) - 1 = 0.

Passo 3

Agora simplificamos essa equação para achar t:
t - 3 - 3t - 2t - 1 = -4t - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -1.

Passo 4

Com t = -1, calculamos as coordenadas do ponto na reta:
x = -1,\quad y = -3 - 3(-1) = 0,\quad z = -(-1) = 1.

Resposta

O ponto de interseção entre r e \pi é (-1, 0, 1).

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