Questão 7. Uma bactéria alfa se divide em 2 a cada 2 minutos num meio nutritivo. Se começarmos com 60 células:
a) descubra a função para o número de células após t horas;
b) quantas células existem depois de 8 horas?
c) qual a taxa de crescimento depois de 8 horas?
d) quando a população atingirá 20.000 células?

Passo 1

O enunciado trata de crescimento exponencial puro, pois cada bactéria dobra de número a cada 2 minutos. Começamos com 60 células e queremos a função do número de células em função do tempo t dado em horas, além de calcular valores e taxas em instantes específicos.

Passo 2

Para montar a função, note que em t horas ocorrem 60t minutos e, como dobra a cada 2 min, o número de dobramentos é
\frac{60t}{2}=30t.
Logo, o número de células em t horas é
N(t)=60\cdot 2^{30t}.

Passo 3

Para (b), basta avaliar em t=8:
N(8)=60\cdot 2^{30\cdot 8}=60\cdot 2^{240}.

Passo 4

Para (c), precisamos da taxa de crescimento instantânea, isto é, da derivada N'(t). Como
N(t)=60\cdot 2^{30t}=60\exp\bigl(30t\ln 2\bigr),
temos
N'(t)=60\exp\bigl(30t\ln 2\bigr)\cdot(30\ln 2) =60\cdot 2^{30t}\cdot 30\ln 2.
Em t=8:
N'(8)=60\cdot 2^{240}\cdot 30\ln 2 =1800\,\ln 2\;\cdot 2^{240}.

Passo 5

Para (d), resolvemos
60\cdot 2^{30t}=20000 \quad\Longrightarrow\quad 2^{30t}=\frac{20000}{60}=\frac{10000}{30}\approx333{,}33.
Tomando logaritmo:
30t\ln 2=\ln(333{,}33) \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{\ln(333{,}33)}{30\ln 2}\approx0{,}279\text{ horas},
ou seja, cerca de 0{,}279\times60\approx16{,}7 minutos.

Resposta

(a) \displaystyle N(t)=60\cdot 2^{30t}.
(b) \displaystyle N(8)=60\cdot 2^{240}.
(c) \displaystyle N'(8)=1800\,\ln 2\;\cdot 2^{240}.
(d) \displaystyle t=\frac{\ln(20000/60)}{30\ln 2}\approx0{,}279\text{ h} ( \approx 16,7 min).

Exercícios relacionados