Questão 10. Uma empresa de pesquisa de opinião revelou, no ano de 2000 , que 40 \% dos usuários de internet recebiam mais de dez mensagens de email por dia. Um estudo similar sobre o uso de emails foi repetido em 2002, onde, a partir de uma amostra de 425 usuários de internet observou-se que 189 pessoas receberam mais de dez mensagens de email por dia. A 5 \% de significância, pode-se dizer que a proporção do ano de 2000 se manteve?

Passo 1

O enunciado trata de testar se a proporção de usuários que recebem mais de dez mensagens de email por dia, p, em 2002 foi diferente da proporção conhecida em 2000 ( p_0=0,40). Em 2002 temos uma amostra de tamanho n=425 com x=189 sucessos. Vamos usar um teste-z para proporções, a um nível de significância \alpha=0,05.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e verificamos as condições de aplicabilidade do teste-z para proporção:
H_0: p = 0,40
H_1: p \neq 0,40
As condições de normalidade aproximada pedem n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge5. Aqui
n p_0 = 425 \times 0,40 = 170 \ge 5,
n(1-p_0)=425 \times 0,60 = 255 \ge 5,
logo a aproximação normal é válida.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral
\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{189}{425} \approx 0,4447.

Passo 4

Determinamos o erro-padrão sob H_0:
SE = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0,40 \times 0,60}{425}} \approx 0,0238.

Passo 5

Computamos a estatística de teste
z = \frac{\hat{p}-p_0}{SE} = \frac{0,4447 - 0,40}{0,0238} \approx 1,88.

Passo 6

Para \alpha=0,05 e teste bilateral, a região crítica é \lvert z\rvert>1,96. Como \lvert1,88\rvert<1,96, não rejeitamos H_0. O p-valor é
p\text{-valor} = 2\bigl[1-\Phi(1,88)\bigr]\approx 2(1-0,9699)=0,0602>0,05.

Resposta

Não há evidência estatística, a 5\% de significância, para rejeitar que a proporção se manteve em 0,40.

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