Questão 9. A satisfação da população em relação a determinado governo foi pesquisada através de uma amostra com a opinião de 1000 habitantes do estado. Destes, 585 se declararam insatisfeitas com a administração estadual. A atual administração decidiu que se o percentual de descontentamento fosse superior a 50 \% deveria ser redirecionado o plano governamental. Utilizando 2 \% de significância o que você concluiria?

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de n=1000 habitantes, dos quais x=585 se declararam insatisfeitos. Queremos testar, a 2\% de significância, se a proporção real de insatisfeitos p é maior que 50\%. Assim as hipóteses são
H_0: p = 0{,}5
H_1: p > 0{,}5
Como n é grande, usamos a aproximação normal para a proporção.

Passo 2

Calculamos a proporção amostral \hat p:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{585}{1000} = 0{,}585.

Passo 3

Sob H_0, o erro-padrão de \hat p é
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}5 \cdot 0{,}5}{1000}} = \sqrt{0{,}00025} \approx 0{,}01581.

Passo 4

A estatística de teste z é
z = \frac{\hat p - p_0}{\sigma_{\hat p}} = \frac{0{,}585 - 0{,}5}{0{,}01581} \approx 5{,}38.

Passo 5

Para \alpha = 0{,}02 e teste unilateral à direita, o valor crítico é
z_{1-\alpha} = z_{0{,}98} \approx 2{,}05.
Como z \approx 5{,}38 > 2{,}05, rejeitamos H_0.

Resposta

Rejeita-se H_0. Há evidência estatística de que o percentual de descontentamento excede 50\%, logo o plano governamental deve ser redirecionado.

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