Questão 10: Encontrar as raízes das seguintes equações usando o dispositivo de Briot-Ruffini:
x^3-5 x^2+7 x+13

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes do polinômio
x^3 - 5x^2 + 7x + 13 = 0
usando o dispositivo de Briot-Ruffini. O conteúdo envolvido é:
– Teorema das raízes racionais (possíveis divisores de 13)
– Divisão sintética (Briot-Ruffini) para fatorar o polinômio
– Fórmula quadrática para resolver o fator de segundo grau

Passo 2

Pelo Teorema das raízes racionais, os candidatos a raízes inteiras são os divisores de 13, ou seja pm1 e pm13. Vamos testar ,x=1 e ,x=-1:
p(1)=1 -5 +7 +13 =16 neq 0,
p(-1)=(-1)^3 -5(-1)^2 +7(-1) +13 = -1 -5 -7 +13 =0
Como p(-1)=0, concluímos que x=-1 é uma raiz.

Passo 3

Agora aplicamos Briot-Ruffini para dividir
x^3 -5x^2 +7x +13
por (x-(-1))=(x+1). Configurando a tabela sintética com coeficientes 1,,-5,,7,,13 e raiz -1, obtemos o quociente de grau 2 com coeficientes
1, -6, 13,
ou seja, o polinômio
x^2 -6x +13

Passo 4

Restou resolver
x^2 -6x +13 = 0
pela fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (-6)^2 -4cdot1cdot13 =36 -52 = -16
Logo as raízes são
x = 6 pm raiz-162 = 6 pm 4i2 = 3 pm 2i

Resposta

As raízes do polinômio são
x = -1, x = 3 + 2i, x = 3 - 2i

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