Questão 10: Encontrar as raízes das seguintes equações usando o dispositivo de Briot-Ruffini:
x^4+2 x^3-7 x^2-8 x+12

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes do polinômio
p(x)=x^4+2x^3-7x^2-8x+12
usando o dispositivo de Briot-Ruffini, que consiste em testar raízes racionais pelo teorema do resto e fazer divisão sintética.

Passo 2

Pelo teorema das raízes racionais, os candidatos são
pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm12. Testamos x=1:
p(1)=1+2-7-8+12=0
Logo, x=1 é raiz de p(x).

Passo 3

Aplicamos Briot-Ruffini dividindo p(x) por (x-1). Usando os coeficientes [1,;2,;-7,;-8,;12] e o divisor 1, obtemos quociente de grau 3 com coeficientes [1,;3,;-4,;-12]. Assim,
p(x)=(x-1)l(x^3+3x^2-4x-12r)

Passo 4

No polinômio cúbico q(x)=x^3+3x^2-4x-12, testamos raízes racionais e verificamos que
q(2)=8+12-8-12=0
Portanto, x=2 é raiz de q(x).

Passo 5

Fazendo Briot-Ruffini em q(x) com divisor 2 e coeficientes [1,;3,;-4,;-12], o quociente é o polinômio quadrático com coeficientes [1,;5,;6]. Logo,
q(x)=(x-2)(x^2+5x+6)

Passo 6

O quadrático x^2+5x+6 fatora diretamente como
x^2+5x+6=(x+2)(x+3),
o que dá as raízes x=-2 e x=-3.

Resposta

As raízes do polinômio são
x=1, x=2, x=-2, x=-3

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