Questão 10: Encontrar as raízes das seguintes equações usando o dispositivo de Briot-Ruffini:
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre as raízes da equação
usando o dispositivo de Briot-Ruffini. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, teorema do resto e divisão sintética para reduzir o grau passo a passo.
Passo 2
Pelo teorema do resto, toda raiz inteira deve dividir o termo independente
. Os candidatos são
.
Testando rapidamente no polinômio, encontramos
Testando rapidamente no polinômio, encontramos
logo
e
são raízes.
Passo 3
Aplicamos Briot-Ruffini com
aos coeficientes
. Através dos produtos e somas sucessivos, obtemos quociente de grau 3 com coeficientes
e resto 0. Portanto o polinômio se reduz a
Passo 4
Agora aplicamos Briot-Ruffini com
aos coeficientes
. Fazendo o mesmo processo, obtemos quociente de grau 2 com coeficientes
e resto 0. Assim sobra o polinômio
Passo 5
Resolvendo a equação do segundo grau
usamos a fórmula de Bhaskara:
de onde vêm as raízes
e
.
Passo 6
Como cada uma das raízes
e
apareceu duas vezes no processo de divisão, a fatoração final é
As raízes da equação são
e
, cada uma com multiplicidade 2.
Resposta
As raízes são
(multiplicidade 2)
e
(multiplicidade 2).
e