Questão 10: Encontrar as raízes das seguintes equações usando o dispositivo de Briot-Ruffini:
x^4+2 x^3-11 x^2-12 x+36

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre as raízes da equação
x^4 + 2x^3 - 11x^2 - 12x + 36 = 0
usando o dispositivo de Briot-Ruffini. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, teorema do resto e divisão sintética para reduzir o grau passo a passo.

Passo 2

Pelo teorema do resto, toda raiz inteira deve dividir o termo independente 36. Os candidatos são
pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm9,pm12,pm18,pm36.
Testando rapidamente no polinômio, encontramos
p(2)=0e p(-3)=0,
logo x=2 e x=-3 são raízes.

Passo 3

Aplicamos Briot-Ruffini com c=2 aos coeficientes 1,2,-11,-12,36. Através dos produtos e somas sucessivos, obtemos quociente de grau 3 com coeficientes 1,4,-3,-18 e resto 0. Portanto o polinômio se reduz a
x^3 + 4x^2 - 3x - 18

Passo 4

Agora aplicamos Briot-Ruffini com c=-3 aos coeficientes 1,4,-3,-18. Fazendo o mesmo processo, obtemos quociente de grau 2 com coeficientes 1,1,-6 e resto 0. Assim sobra o polinômio
x^2 + x - 6

Passo 5

Resolvendo a equação do segundo grau
x^2 + x - 6 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -1 pm raiz1 + 242 = -1 pm 52,
de onde vêm as raízes x=2 e x=-3.

Passo 6

Como cada uma das raízes 2 e -3 apareceu duas vezes no processo de divisão, a fatoração final é
(x-2)^2(x+3)^2=0
As raízes da equação são x=2 e x=-3, cada uma com multiplicidade 2.

Resposta

As raízes são
x = 2 (multiplicidade 2)
e
x = -3 (multiplicidade 2).

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