Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, calcule a derivada dd x f(x)
(a) f(x)=integral1^raiztan (x) raiz[3]1+s^4 d s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a derivada de uma função definida por uma integral:
f(x) = integral1^raiztan (x) raiz[3]1+s^4 , ds
Aqui, estamos trabalhando com o Teorema Fundamental do Cálculo, que conecta derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma integral cujo limite superior depende de .

Passo 2

Primeiro, o Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que se f'(x) = h(g(x)) cdot g'(x) , então a derivada de em relação a é:
Isso significa que precisamos avaliar a função dentro da integral no limite superior e depois multiplicar pela derivada desse limite em relação a .

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função:
  • Função dentro da integral:
  • Limite superior da integral:
  • Limite inferior: É constante (1), então a derivada dessa parte será zero e não precisamos nos preocupar com ela.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o teorema. A derivada de f'(x) = raiz[3]1 + (raiztan(x))^4 cdot ddx ( raiztan(x) ) será:
(raiztan(x))^4 = ( tan(x) )^2
Simplificando a expressão dentro da raiz cúbica:
f'(x) = raiz[3]1 + tan^2(x) cdot ddx ( raiztan(x) )
Então fica:

Passo 5

Vamos calcular a derivada de ddx ( raiztan(x) ) = 12 cdot tan(x)^-1/2 cdot sec^2(x) . Para isso, usamos a regra da cadeia:
12 raiztan(x) cdot sec^2(x)
Simplificando:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
f'(x) = raiz[3]1 + tan^2(x) cdot sec^2(x)2 raiztan(x)
Podemos escrever de forma mais elegante:
f'(x) = sec^2(x)2 raiztan(x) cdot raiz[3]1 + tan^2(x)

Resposta

A derivada de f'(x) = sec^2(x)2 raiztan(x) cdot raiz[3]1 + tan^2(x) é:

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