Questão 10. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3,2,1) e é simultaneamente ortogonal as retas
\begin{gathered} r:\left\{\begin{array}{l} x=3 \\\ y=t_{1} \\\ z=1 \end{array} ; t_{1} \in \mathbb{R}\right. \\\ s:\left\{\begin{array}{l} x=t_{2} \\\ y=-2 t_{2}+1 ; t_{2} \in \mathbb{R} \\\ z=-t_{2}-3 \end{array}\right. \end{gathered}
r e s

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa por A(3,2,1) e é ortogonal simultaneamente às retas
r:\\ x=3,\;y=t_{1},\;z=1
e
s:\\ x=t_{2},\;y=-2t_{2}+1,\;z=-t_{2}-3.
O conteúdo principal é que, em \mathbb{R}^3, uma reta perpendicular a duas retas dadas tem vetor diretor dado pelo produto vetorial dos vetores diretores dessas duas retas.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores de r e s.
Para r, como x e z são constantes e y=t_{1}, o vetor diretor é
u_{r} = (0,1,0).
Para s, comparando com (x,y,z)=(t_{2},-2t_{2}+1,-t_{2}-3), o vetor diretor é
u_{s} = (1,-2,-1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
v = u_{r}\times u_{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] 0 & 1 & 0 \\[6pt] 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)\,\mathbf{i} \;+\;0\,\mathbf{j}\;+\;(-1)\,\mathbf{k} = (-1,0,-1).
Podemos trocar o sinal para facilitar e usar
v = (1,0,1).]

Passo 4

A reta procurada passa por A(3,2,1) e tem vetor diretor v=(1,0,1). Suas equações paramétricas são
x = 3 + t, \quad y = 2, \quad z = 1 + t, \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{x=3+t,\quad y=2,\quad z=1+t,\quad t\in\mathbb{R}.}

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