Questão 2. Considerando as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right) e tem \vec{v}=(a, b, c) como vetor diretor, mostre que:
  • Se a b c \neq 0, então
\frac{x-x_{1}}{a}=\frac{y-y_{1}}{b}=\frac{z-z_{1}}{c} .
As equações acima definem o que denominamos equações simétricas ou normais de uma reta.
  • Se a \neq 0, então
y=m x+n, \quad z=p x+q
onde m=\frac{b}{a}, n=-\frac{b}{a} x_{1}+y_{1} e p=z \frac{c}{a}, q=\frac{c}{a} x_{1}+z_{1}. As equações (1) são denominadas equações reduzidas de uma reta. Encontre equações análogas no caso em que b \neq 0 e no caso em que c \neq 0.

Passo 1

O enunciado parte das equações paramétricas de uma reta que passa por A(x_{1},y_{1},z_{1}) com vetor diretor \vec v=(a,b,c), ou seja,
x = x_{1}+a\,t,\quad y = y_{1}+b\,t,\quad z = z_{1}+c\,t.
Ele pede (i) a forma simétrica quando abc\neq0 e (ii) as formas reduzidas quando uma das componentes do vetor diretor é não nula. Já sabemos que, se a\neq0, obtemos equações do tipo y=mx+n e z=px+q; precisamos agora fazer o mesmo para b\neq0 e para c\neq0.

Passo 2

Para chegar à forma simétrica sob a hipótese abc\neq0, basta isolar o parâmetro t em cada equação paramétrica:
t = \frac{x - x_{1}}{a},\quad t = \frac{y - y_{1}}{b},\quad t = \frac{z - z_{1}}{c}.
Como todas são iguais a t, obtemos
\frac{x - x_{1}}{a} \;=\;\frac{y - y_{1}}{b}\;=\;\frac{z - z_{1}}{c},
que são justamente as equações simétricas da reta.

Passo 3

No caso a\neq0, já mostrado no enunciado, isolamos
t = \frac{x - x_{1}}{a},
e substituímos em y = y_{1}+b\,t e em z = z_{1}+c\,t, obtendo
y = \frac{b}{a}\,x +\Bigl(y_{1}-\frac{b}{a}\,x_{1}\Bigr),\quad z = \frac{c}{a}\,x +\Bigl(z_{1}-\frac{c}{a}\,x_{1}\Bigr).

Passo 4

Para o caso b\neq0, isolamos
t = \frac{y - y_{1}}{b}
e substituímos em x = x_{1}+a\,t e em z = z_{1}+c\,t. Assim chegam-se a
x = x_{1} + a\,\frac{y - y_{1}}{b} = \frac{a}{b}\,y + \Bigl(x_{1}-\frac{a}{b}\,y_{1}\Bigr),
z = z_{1} + c\,\frac{y - y_{1}}{b} = \frac{c}{b}\,y + \Bigl(z_{1}-\frac{c}{b}\,y_{1}\Bigr).

Passo 5

Para o caso c\neq0, isolamos
t = \frac{z - z_{1}}{c}
e substituímos em x = x_{1}+a\,t e em y = y_{1}+b\,t. Obtemos então
x = x_{1} + a\,\frac{z - z_{1}}{c} = \frac{a}{c}\,z + \Bigl(x_{1}-\frac{a}{c}\,z_{1}\Bigr),
y = y_{1} + b\,\frac{z - z_{1}}{c} = \frac{b}{c}\,z + \Bigl(y_{1}-\frac{b}{c}\,z_{1}\Bigr).

Resposta

Para b\neq 0, as equações reduzidas são
x = \frac{a}{b}\,y + \Bigl(x_{1}-\frac{a}{b}\,y_{1}\Bigr), \quad z = \frac{c}{b}\,y + \Bigl(z_{1}-\frac{c}{b}\,y_{1}\Bigr).
Para c\neq 0, as equações reduzidas são
x = \frac{a}{c}\,z + \Bigl(x_{1}-\frac{a}{c}\,z_{1}\Bigr), \quad y = \frac{b}{c}\,z + \Bigl(y_{1}-\frac{b}{c}\,z_{1}\Bigr).

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