Questão 2. Considerando as equações paramétricas de uma reta que passa por um ponto
e tem
como vetor diretor, mostre que:
- Se
, então
As equações acima definem o que denominamos equações simétricas ou normais de uma reta.
- Se
, então
onde
e
. As equações (1) são denominadas equações reduzidas de uma reta. Encontre equações análogas no caso em que
e no caso em que
.
Passo 1
O enunciado parte das equações paramétricas de uma reta que passa por
com vetor diretor
, ou seja,
Ele pede (i) a forma simétrica quando
e (ii) as formas reduzidas quando uma das componentes do vetor diretor é não nula. Já sabemos que, se
, obtemos equações do tipo
e
; precisamos agora fazer o mesmo para
e para
.
Passo 2
Para chegar à forma simétrica sob a hipótese
, basta isolar o parâmetro
em cada equação paramétrica:
Como todas são iguais a
, obtemos
que são justamente as equações simétricas da reta.
Passo 3
No caso
, já mostrado no enunciado, isolamos
e substituímos em
e em
, obtendo
Passo 4
Para o caso
, isolamos
e substituímos em
e em
. Assim chegam-se a
Passo 5
Para o caso
, isolamos
e substituímos em
e em
. Obtemos então
Resposta
Para
, as equações reduzidas são
Para
, as equações reduzidas são