(Questão 4) [3,00] Ache os planos tangentes à superfície esférica x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 que contém a reta r:\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\\ x-y-z-2=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede os planos tangentes à esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}=1
que contêm a reta r\) definida pelas interseções \[\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y-z-2=0. \end{cases}
O conteúdo usado será:
  1. Equação geral do plano tangente à esfera em (a,b,c)\] com \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.
  2. Condição de conter uma reta: a normal do plano deve ser perpendicular à direção da reta, e um ponto da reta deve satisfazer a equação do plano.

Passo 2

A reta r\) é interseção dos planos de normais \(\mathbf{n}_{1}=(1,1,1)\) e \(\mathbf{n}_{2}=(1,-1,-1)\). Seu vetor diretor é \[\mathbf{d}=\mathbf{n}_{1}\times\mathbf{n}_{2} =(1,1,1)\times(1,-1,-1) =(0,2,-2)\sim(0,1,-1).
Um ponto particular em r obtém-se resolvendo
\begin{cases} x+y+z=0,\\\ x-y-z=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda vem y+z=-1\] e então \(x=1. Tomamos P_{0}=(1,0,-1) (caso y=0, z=-1).

Passo 3

O plano tangente à esfera no ponto (a,b,c) tem equação
a\,x+b\,y+c\,z=1,
com (a,b,c) satisfazendo
a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.
Para que esse plano contenha a reta r, é preciso:
  1. \mathbf{n}=(a,b,c)\perp\mathbf{d}=(0,1,-1), isto é
b-c=0\quad\Longrightarrow\quad c=b.
  1. O ponto P_{0}=(1,0,-1) satisfaz a\cdot1+b\cdot0+c\cdot(-1)=1, ou seja
a - c = 1.

Passo 4

Das condições c=b e a-c=1 temos
a=1+b,\quad c=b.
Aplicando a^{2}+b^{2}+c^{2}=1
(1+b)^{2}+b^{2}+b^{2}=1 \;\Longrightarrow\; 1+2b+3b^{2}=1 \;\Longrightarrow\; 3b^{2}+2b=0 \;\Longrightarrow\; b(3b+2)=0.
Assim b=0 ou b=-\tfrac{2}{3}.

Passo 5

Caso b=0:
c=0,\quad a=1.
O plano é
1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z=1 \;\Longrightarrow\; x=1.
Caso b=-\tfrac{2}{3}:
c=-\tfrac{2}{3},\quad a=1+b=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Multiplicando a equação por 3 obtemos
\tfrac{1}{3}x -\tfrac{2}{3}y -\tfrac{2}{3}z=1 \;\Longrightarrow\; x-2y-2z=3.

Resposta

Os dois planos são: x=1
e x-2y-2z-3=0.

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