(Questão 4) [3,00] Ache os planos tangentes à superfície esférica
que contém a reta
Passo 1
O enunciado pede os planos tangentes à esfera
que contêm a reta
O conteúdo usado será:
- Equação geral do plano tangente à esfera em .
- Condição de conter uma reta: a normal do plano deve ser perpendicular à direção da reta, e um ponto da reta deve satisfazer a equação do plano.
Passo 2
A reta
Um ponto particular em
obtém-se resolvendo
Subtraindo a primeira da segunda vem
. Tomamos
(caso
,
).
Passo 3
O plano tangente à esfera no ponto
tem equação
com
satisfazendo
Para que esse plano contenha a reta
, é preciso:
-
, isto é
- O ponto
satisfaz , ou seja
Passo 4
Das condições
e
temos
Aplicando
dá
Assim
ou
.
Passo 5
Caso
:
O plano é
Caso
:
Multiplicando a equação por 3 obtemos
Resposta
Os dois planos são:
e .
e