Questão 3.10 A expressão para o vetor velocidade de um escoamento é a seguinte:
Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Determinar as taxas de dilatação lineares e a taxa de dilatação volumétrica. Estes valores permitem tirar que conclusão? Justifique sua resposta.
b) Determinar a expressão do vetor velocidade angular e indicar se o escoamento é irrotacional ou não. Justifique sua resposta.
c) Determinar as componentes do tensor taxa de deformação nos planos: (i)
, (ii)
(iii)
.
Resp.:
a) Taxas de dilatação lineares:
Taxa de dilatação volumétrica
. Escoamento incompressível.
b)
. Escoamento rotacional.
a) Determinar as taxas de dilatação lineares e a taxa de dilatação volumétrica. Estes valores permitem tirar que conclusão? Justifique sua resposta.
b) Determinar a expressão do vetor velocidade angular e indicar se o escoamento é irrotacional ou não. Justifique sua resposta.
c) Determinar as componentes do tensor taxa de deformação nos planos: (i)
a) Taxas de dilatação lineares:
b)
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades
com as componentes
O que se pede:
(a) calcular as taxas de dilatação lineares ,
,
e a taxa de dilatação volumétrica (soma das três); concluir o que isso significa para o escoamento;
(b) determinar o vetor velocidade angular (isto é, o vetor rotação/espinamento) e dizer se o escoamento é irrotacional ou não;
(c) determinar as componentes do tensor taxa de deformação nos planos (i) , (ii)
e (iii)
.
(a) calcular as taxas de dilatação lineares
(b) determinar o vetor velocidade angular (isto é, o vetor rotação/espinamento) e dizer se o escoamento é irrotacional ou não;
(c) determinar as componentes do tensor taxa de deformação nos planos (i)
Passo 2
Conceito usado em (a) e procedimento:
- A taxa de dilatação linear numa direção é a derivada parcial da componente de velocidade nessa direção em relação à coordenada nessa direção. Por exemplo, a taxa de dilatação linear na direção
é . Isso mede o alongamento/compressão local ao longo de . - A taxa de dilatação volumétrica é a divergência do campo de velocidades:
Se
o escoamento é incompressível (variação volumétrica local nula).
Agora calculo cada derivada claramente (regra: derivada de
em relação a
é
; derivada de termo sem a variável é zero).
- Calcular
:
- Calcular
:
(derivada de
em relação a
é
; de
é
; de
em relação a
é
.)
- Calcular
:
(derivada de
em relação a
é
; de
é
; constante dá zero.)
Somando para obter a taxa volumétrica:
Conclusão: a taxa volumétrica é zero em todo o domínio, logo o escoamento é incompressível (não há variação volumétrica local).
Passo 3
Conceito e procedimento para (b):
- O vetor velocidade angular do escoamento (às vezes chamado de vetor rotação ou espinamento) é metade do rotor (curl) do campo de velocidades:
- O rotor é dado por
Se
(ou
) o escoamento é irrotacional; caso contrário é rotacional.
Calculo os termos necessários (cada derivada explicitada):
-
(pois não depende de ). -
Assim a componentedo rotor é
-
-
Assim a componentedo rotor é
-
-
Assim a componentedo rotor é
Logo
Dividindo por
para obter o vetor velocidade angular:
Como
não é o vetor nulo para valores gerais de
, o escoamento é rotacional.
Passo 4
Conceito e procedimento para (c):
- O tensor taxa de deformação (tensor simétrico das taxas de deformação) tem componentes
onde
e
.
- Nos planos pedidos queremos as componentes de cisalhamento correspondentes:
, , .
Calculo cada uma mostrando as derivadas usadas:
- Para o plano
:
Já temos
. Calculo
.
Portanto
Portanto
- Para o plano
:
Já temos
e
.
Logo
Logo
- Para o plano
:
Já temos
e
.
Então
Então
Observação extra (consistência): a soma das componentes normais do tensor
(trace) é
o que confirma a incompressibilidade encontrada em (a).
Resposta
a)
taxa de dilatação volumétrica
. Escoamento incompressível.
b)
Escoamento rotacional.
c)