Questão 3.10 A expressão para o vetor velocidade de um escoamento é a seguinte:
\vec{V}(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \vec{\imath}+\left(x y+y z+z^{2}\right) \vec{\jmath}+\left(-3 x z-\frac{z^{2}}{2}-4\right) \vec{k} .
Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Determinar as taxas de dilatação lineares e a taxa de dilatação volumétrica. Estes valores permitem tirar que conclusão? Justifique sua resposta.
b) Determinar a expressão do vetor velocidade angular e indicar se o escoamento é irrotacional ou não. Justifique sua resposta.
c) Determinar as componentes do tensor taxa de deformação nos planos: (i) x y, (ii) x z e (iii) y z.
Resp.:
a) Taxas de dilatação lineares: \partial u / \partial x=2 x ; \partial v / \partial y=x+z ; \partial w / \partial z=-3 x-z ; Taxa de dilatação volumétrica = \partial u / \partial x+\partial v / \partial y+\partial w / \partial z=0. Escoamento incompressível.
b) \omega=-(y+2 z) / 2 i+5 z / 2 j-y / 2 k. Escoamento rotacional.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades
\vec{V}(x,y,z)=u\,\vec{\imath}+v\,\vec{\jmath}+w\,\vec{k}
com as componentes
u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \qquad v(x,y,z)=x y+y z+z^{2}, \qquad w(x,y,z)=-3 x z-\tfrac{z^{2}}{2}-4.
O que se pede:
(a) calcular as taxas de dilatação lineares \partial u/\partial x, \partial v/\partial y, \partial w/\partial z e a taxa de dilatação volumétrica (soma das três); concluir o que isso significa para o escoamento;
(b) determinar o vetor velocidade angular (isto é, o vetor rotação/espinamento) e dizer se o escoamento é irrotacional ou não;
(c) determinar as componentes do tensor taxa de deformação nos planos (i) x y, (ii) x z e (iii) y z.

Passo 2

Conceito usado em (a) e procedimento:
  • A taxa de dilatação linear numa direção é a derivada parcial da componente de velocidade nessa direção em relação à coordenada nessa direção. Por exemplo, a taxa de dilatação linear na direção x é \partial u/\partial x. Isso mede o alongamento/compressão local ao longo de x.
  • A taxa de dilatação volumétrica é a divergência do campo de velocidades:
\text{taxa volumétrica}=\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}.é
Se \nabla\cdot\vec{V}=0 o escoamento é incompressível (variação volumétrica local nula).
Agora calculo cada derivada claramente (regra: derivada de x^n em relação a x é n x^{n-1}; derivada de termo sem a variável é zero).
  • Calcular \partial u/\partial x:
u=x^{2}+y^{2}+z^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial u}{\partial x}=2x.
  • Calcular \partial v/\partial y:
v=xy+yz+z^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial v}{\partial y}=x+z.
(derivada de xy em relação a y é x; de yz é z; de z^2 em relação a y é 0.)
  • Calcular \partial w/\partial z:
w=-3xz-\tfrac{z^{2}}{2}-4\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial w}{\partial z}=-3x - z.
(derivada de -3xz em relação a z é -3x; de -\tfrac{z^2}{2} é -z; constante dá zero.)
Somando para obter a taxa volumétrica:
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z} =2x+(x+z)+(-3x-z)=0.
Conclusão: a taxa volumétrica é zero em todo o domínio, logo o escoamento é incompressível (não há variação volumétrica local).

Passo 3

Conceito e procedimento para (b):
  • O vetor velocidade angular do escoamento (às vezes chamado de vetor rotação ou espinamento) é metade do rotor (curl) do campo de velocidades:
\vec{\omega}=\tfrac{1}{2}\,\nabla\times\vec{V}.
  • O rotor é dado por
\nabla\times\vec{V}=\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)\vec{\imath} +\left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)\vec{\jmath} +\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\vec{k}.
Se \nabla\times\vec{V}=\vec{0} (ou \vec{\omega}=\vec{0}) o escoamento é irrotacional; caso contrário é rotacional.
Calculo os termos necessários (cada derivada explicitada):
  • \displaystyle\frac{\partial w}{\partial y}=0 (pois w não depende de y).
  • \displaystyle\frac{\partial v}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}(xy+yz+z^{2})=y+2z.
    Assim a componente x do rotor é
(\nabla\times\vec{V})_x=0-(y+2z)=-(y+2z).
  • \displaystyle\frac{\partial u}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2z.
  • \displaystyle\frac{\partial w}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(-3xz-\tfrac{z^{2}}{2}-4)=-3z.
    Assim a componente y do rotor é
(\nabla\times\vec{V})_y=2z-(-3z)=5z.
  • \displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(xy+yz+z^{2})=y.
  • \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2y.
    Assim a componente z do rotor é
(\nabla\times\vec{V})_z = y-2y = -y.
Logo
\nabla\times\vec{V}=-(y+2z)\,\vec{\imath}+5z\,\vec{\jmath}-y\,\vec{k}.
Dividindo por 2 para obter o vetor velocidade angular:
\vec{\omega}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\vec{V} =-\tfrac{y+2z}{2}\,\vec{\imath}+\tfrac{5z}{2}\,\vec{\jmath}-\tfrac{y}{2}\,\vec{k}.
Como \vec{\omega} não é o vetor nulo para valores gerais de y,z, o escoamento é rotacional.

Passo 4

Conceito e procedimento para (c):
  • O tensor taxa de deformação (tensor simétrico das taxas de deformação) tem componentes
D_{ij}=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{j}}+\frac{\partial v_{j}}{\partial x_{i}}\right),
onde v_1=u,\;v_2=v,\;v_3=w e x_1=x,\\ x_2=y,\\ x_3=z.
  • Nos planos pedidos queremos as componentes de cisalhamento correspondentes: D_{xy}=D_{yx}, D_{xz}=D_{zx}, D_{yz}=D_{zy}.
Calculo cada uma mostrando as derivadas usadas:
  • Para o plano x y:
D_{xy}=\tfrac{1}{2}\Big(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\Big).
Já temos \displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}=y. Calculo \displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}=2y.
Portanto
D_{xy}=\tfrac{1}{2}(2y+y)=\tfrac{3y}{2}.
  • Para o plano x z:
D_{xz}=\tfrac{1}{2}\Big(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\Big).
Já temos \displaystyle\frac{\partial u}{\partial z}=2z e \displaystyle\frac{\partial w}{\partial x}=-3z.
Logo
D_{xz}=\tfrac{1}{2}(2z-3z)=\tfrac{1}{2}(-z)=-\tfrac{z}{2}.
  • Para o plano y z:
D_{yz}=\tfrac{1}{2}\Big(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\Big).
Já temos \displaystyle\frac{\partial v}{\partial z}=y+2z e \displaystyle\frac{\partial w}{\partial y}=0.
Então
D_{yz}=\tfrac{1}{2}(y+2z)=\tfrac{y+2z}{2}.
Observação extra (consistência): a soma das componentes normais do tensor D (trace) é
D_{xx}+D_{yy}+D_{zz}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0,
o que confirma a incompressibilidade encontrada em (a).

Resposta

a) \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial v}{\partial y}=x+z,\quad \frac{\partial w}{\partial z}=-3x-z; taxa de dilatação volumétrica =\;0. Escoamento incompressível.
b) \displaystyle \vec{\omega}=-\tfrac{y+2z}{2}\,\vec{\imath}+\tfrac{5z}{2}\,\vec{\jmath}-\tfrac{y}{2}\,\vec{k}. Escoamento rotacional.
c) \displaystyle D_{xy}=\tfrac{3y}{2},\quad D_{xz}=-\tfrac{z}{2},\quad D_{yz}=\tfrac{y+2z}{2}.

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