Questão 3.12 Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação:
V=10 i+\left(x^{2}+y^{2}\right) j-2 x y k .
Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Classificar o escoamento em relação à compressibilidade e em relação à rotacionalidade (se rotacional, indicar o sentido de rotação). Justifique sua resposta.
b) Determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3,1,0).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades
V = 10\,\mathbf{i} + \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\mathbf{j} - 2xy\,\mathbf{k}
e pede duas coisas:
  • (a) Classificar o escoamento quanto à compressibilidade e quanto à rotacionalidade. Se for rotacional, indicar o sentido de rotação e justificar.
  • (b) Determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (x,y,z)=(3,1,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Componentes do campo: u(x,y,z)=10, v(x,y,z)=x^{2}+y^{2}, w(x,y,z)=-2xy.
  • Não há dependência explícita do tempo no enunciado (campo estacionário).
  • Pede-se classificação por divergência e por rotacional e cálculo da aceleração material naquele ponto.

Passo 2

Conceito e fórmula úteis para a parte (a): compressibilidade.
  • Um escoamento incompressível (no sentido usual da mecânica dos fluidos) satisfaz que a divergência do campo de velocidades é nula em todos os pontos: \nabla\cdot V=0.
  • Se \nabla\cdot V\neq0 em geral, o escoamento é compressível (ou, mais precisamente, não é divergência-livre).
    A definição usada aqui é puramente matemática: calcular \nabla\cdot V.
Calculemos a divergência do campo. Para um campo V=(u,v,w),
\nabla\cdot V = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}.
Agora substituímos u=10, v=x^{2}+y^{2}, w=-2xy.

Passo 3

Cálculo explícito da divergência.
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(10)=0, \qquad \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)=2y, \qquad \frac{\partial w}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-2xy)=0.
Portanto
\nabla\cdot V = 0 + 2y + 0 = 2y.
Interpretação didática (muito importante na prova): a divergência dá a taxa local de “expansão” do fluido. Aqui \nabla\cdot V=2y significa que:
  • Quando y>0 há expansão local (divergência positiva).
  • Quando y<0 há convergência local (divergência negativa).
  • Apenas no plano y=0 a divergência é zero.
Conclusão parcial para (a): o escoamento não é globalmente incompressível; é compressível em geral. Só é incompressível (localmente) nos pontos com y=0.

Passo 4

Conceito e fórmula úteis para a parte (a): rotacionalidade.
  • O rotacional (ou vorticidade, no contexto de fluidos) é o vetor \nabla\times V.
  • Se \nabla\times V=\mathbf{0} em uma região, o campo é irrotacional nessa região. Se \nabla\times V\neq\mathbf{0} então é rotacional; a direção de \nabla\times V indica o eixo instantâneo de rotação (regra da mão direita) e o sentido é dado pela orientação desse vetor.
Fórmula do rotacional para V=(u,v,w):
\nabla\times V = \left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}\right)\mathbf{j} + \left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\mathbf{k}.

Passo 5

Cálculo explícito do rotacional.
Começando com derivadas parciais:
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(-2xy)=-2x, \qquad \frac{\partial v}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(x^{2}+y^{2})=0,
\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(10)=0, \qquad \frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(-2xy)=-2y,
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(10)=0.
Substituindo na expressão do rotacional:
\nabla\times V = (-2x-0)\,\mathbf{i} + (0-(-2y))\,\mathbf{j} + (2x-0)\,\mathbf{k}.
Logo
\nabla\times V = -2x\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 2x\,\mathbf{k}.

Passo 6

Interpretação didática do rotacional obtido:
  • Como \nabla\times V não é identicamente nulo (depende de x e y), o campo é rotacional em geral.
  • A vorticidade em cada ponto é o vetor \nabla\times V. Esse vetor aponta ao longo do eixo instantâneo de rotação local, e o sentido da rotação segue a regra da mão direita em relação a esse vetor.
  • Em particular, o componente k (ou seja, a componente na direção +\mathbf{k}, eixo z) é 2x. Quando 2x>0 (ou seja, x>0) há uma tendência de rotação contrária ao relógio (sentido anti-horário) no plano xy visto de cima; quando x<0 essa tendência é ao sentido horário no plano xy.

Passo 7

Agora calculemos as quantidades no ponto pedido (x,y,z)=(3,1,0).
Primeiro a divergência em (3,1,0):
\nabla\cdot V(3,1,0)=2y\big|_{y=1}=2\cdot 1=2.
Portanto no ponto dado a divergência é 2 (não nula) — reforçando que o escoamento é compressível ali.
Agora o rotacional em (3,1,0):
\nabla\times V(3,1,0) = -2x\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 2x\,\mathbf{k}\bigg|_{(3,1,0)} = -6\,\mathbf{i} + 2\,\mathbf{j} + 6\,\mathbf{k}.
Interpretação do sentido: a componente em +\mathbf{k} é +6, então, olhando de cima (do eixo +z), há tendência a uma rotação anti-horária no plano xy (devido a essa componente positiva). No entanto o vetor de vorticidade não está alinhado puramente com z: tem também componente em -\mathbf{i} e +\mathbf{j}, ou seja, o eixo instantâneo de rotação local é a direção do vetor -6\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k}.

Passo 8

Passando para a parte (b): definição e fórmula para aceleração material.
  • Para um campo estacionário (sem dependência explícita do tempo), o vetor aceleração material é dado por
\mathbf{a} = (V\cdot\nabla)V,
ou seja, cada componente é a_{i}=u\partial_{x}(\text{componente}_i)+v\partial_{y}(\text{componente}_i)+w\partial_{z}(\text{componente}_i).
Usaremos os componentes u=10, v=x^{2}+y^{2}, w=-2xy.

Passo 9

Cálculo componente a componente (expressão geral).
  • Para a_x:
a_x = u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z}.
Como u=10 é constante espacialmente, todas as derivadas de u são zero, logo
a_x = 0.
  • Para a_y:
a_y = u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z}.
Já calculamos \frac{\partial v}{\partial x}=2x, \frac{\partial v}{\partial y}=2y, \frac{\partial v}{\partial z}=0. Portanto
a_y = 10\cdot(2x) + (x^{2}+y^{2})\cdot(2y) + (-2xy)\cdot 0 = 20x + 2y(x^{2}+y^{2}).
  • Para a_z:
a_z = u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z}.
Já calculamos \frac{\partial w}{\partial x}=-2y, \frac{\partial w}{\partial y}=-2x, \frac{\partial w}{\partial z}=0. Assim
a_z = 10\cdot(-2y) + (x^{2}+y^{2})\cdot(-2x) + (-2xy)\cdot 0 = -20y -2x(x^{2}+y^{2}).
Portanto a expressão geral do vetor aceleração é
\mathbf{a}(x,y,z) = 0\,\mathbf{i} + \bigl(20x + 2y(x^{2}+y^{2})\bigr)\,\mathbf{j} + \bigl(-20y -2x(x^{2}+y^{2})\bigr)\,\mathbf{k}.

Passo 10

Avaliação da aceleração no ponto (3,1,0).
Substituindo x=3, y=1:
a_x(3,1,0)=0,
a_y(3,1,0)=20\cdot 3 + 2\cdot 1\cdot(3^{2}+1^{2}) = 60 + 2\cdot(9+1)=60+2\cdot 10=60+20=80,
a_z(3,1,0) = -20\cdot 1 - 2\cdot 3\cdot(3^{2}+1^{2}) = -20 -6\cdot(9+1) = -20 -6\cdot 10 = -20 -60 = -80.
Logo
\mathbf{a}(3,1,0) = 0\,\mathbf{i} + 80\,\mathbf{j} -80\,\mathbf{k}.

Resposta

(a) O escoamento é compressível em geral, pois \nabla\cdot V=2y (zero apenas no plano y=0). O escoamento é rotacional, pois \nabla\times V=-2x\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j}+2x\,\mathbf{k} (não nulo em geral); em (3,1,0) a vorticidade é -6\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k}, cujo componente em +\mathbf{k} é +6 (indica tendência a rotação anti-horária no plano xy vista de cima), e o eixo instantâneo de rotação local é a direção do vetor de vorticidade.
(b) \mathbf{a}(3,1,0)=0\,\mathbf{i}+80\,\mathbf{j}-80\,\mathbf{k}.

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