Questão 3.12 Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação:
V=10 i+\left(x^{2}+y^{2}\right) j-2 x y k .
Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Classificar o escoamento em relação à compressibilidade e em relação à rotacionalidade (se rotacional, indicar o sentido de rotação). Justifique sua resposta.
b) Determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(3,1,0).
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidades
V = 10\,\mathbf{i} + \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\mathbf{j} - 2xy\,\mathbf{k}
e pede duas coisas:
(a) Classificar o escoamento quanto à compressibilidade e quanto à rotacionalidade. Se for rotacional, indicar o sentido de rotação e justificar.
(b) Determinar a expressão do vetor aceleração no ponto (x,y,z)=(3,1,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Componentes do campo: u(x,y,z)=10, v(x,y,z)=x^{2}+y^{2}, w(x,y,z)=-2xy.
Não há dependência explícita do tempo no enunciado (campo estacionário).
Pede-se classificação por divergência e por rotacional e cálculo da aceleração material naquele ponto.
Passo 2
Conceito e fórmula úteis para a parte (a): compressibilidade.
Um escoamento incompressível (no sentido usual da mecânica dos fluidos) satisfaz que a divergência do campo de velocidades é nula em todos os pontos: \nabla\cdot V=0.
Se \nabla\cdot V\neq0 em geral, o escoamento é compressível (ou, mais precisamente, não é divergência-livre).
A definição usada aqui é puramente matemática: calcular \nabla\cdot V.
Calculemos a divergência do campo. Para um campo V=(u,v,w),
Interpretação didática (muito importante na prova): a divergência dá a taxa local de “expansão” do fluido. Aqui \nabla\cdot V=2y significa que:
Quando y>0 há expansão local (divergência positiva).
Quando y<0 há convergência local (divergência negativa).
Apenas no plano y=0 a divergência é zero.
Conclusão parcial para (a): o escoamento não é globalmente incompressível; é compressível em geral. Só é incompressível (localmente) nos pontos com y=0.
Passo 4
Conceito e fórmula úteis para a parte (a): rotacionalidade.
O rotacional (ou vorticidade, no contexto de fluidos) é o vetor \nabla\times V.
Se \nabla\times V=\mathbf{0} em uma região, o campo é irrotacional nessa região. Se \nabla\times V\neq\mathbf{0} então é rotacional; a direção de \nabla\times V indica o eixo instantâneo de rotação (regra da mão direita) e o sentido é dado pela orientação desse vetor.
\nabla\times V = (-2x-0)\,\mathbf{i} + (0-(-2y))\,\mathbf{j} + (2x-0)\,\mathbf{k}.
Logo
\nabla\times V = -2x\,\mathbf{i} + 2y\,\mathbf{j} + 2x\,\mathbf{k}.
Passo 6
Interpretação didática do rotacional obtido:
Como \nabla\times V não é identicamente nulo (depende de x e y), o campo é rotacional em geral.
A vorticidade em cada ponto é o vetor \nabla\times V. Esse vetor aponta ao longo do eixo instantâneo de rotação local, e o sentido da rotação segue a regra da mão direita em relação a esse vetor.
Em particular, o componente k (ou seja, a componente na direção +\mathbf{k}, eixo z) é 2x. Quando 2x>0 (ou seja, x>0) há uma tendência de rotação contrária ao relógio (sentido anti-horário) no plano xy visto de cima; quando x<0 essa tendência é ao sentido horário no plano xy.
Passo 7
Agora calculemos as quantidades no ponto pedido (x,y,z)=(3,1,0).
Primeiro a divergência em (3,1,0):
\nabla\cdot V(3,1,0)=2y\big|_{y=1}=2\cdot 1=2.
Portanto no ponto dado a divergência é 2 (não nula) — reforçando que o escoamento é compressível ali.
Interpretação do sentido: a componente em +\mathbf{k} é +6, então, olhando de cima (do eixo +z), há tendência a uma rotação anti-horária no plano xy (devido a essa componente positiva). No entanto o vetor de vorticidade não está alinhado puramente com z: tem também componente em -\mathbf{i} e +\mathbf{j}, ou seja, o eixo instantâneo de rotação local é a direção do vetor -6\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k}.
Passo 8
Passando para a parte (b): definição e fórmula para aceleração material.
Para um campo estacionário (sem dependência explícita do tempo), o vetor aceleração material é dado por
\mathbf{a} = (V\cdot\nabla)V,
ou seja, cada componente é a_{i}=u\partial_{x}(\text{componente}_i)+v\partial_{y}(\text{componente}_i)+w\partial_{z}(\text{componente}_i).
Usaremos os componentes u=10, v=x^{2}+y^{2}, w=-2xy.
Passo 9
Cálculo componente a componente (expressão geral).
(a) O escoamento é compressível em geral, pois \nabla\cdot V=2y (zero apenas no plano y=0). O escoamento é rotacional, pois \nabla\times V=-2x\,\mathbf{i}+2y\,\mathbf{j}+2x\,\mathbf{k} (não nulo em geral); em (3,1,0) a vorticidade é -6\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+6\,\mathbf{k}, cujo componente em +\mathbf{k} é +6 (indica tendência a rotação anti-horária no plano xy vista de cima), e o eixo instantâneo de rotação local é a direção do vetor de vorticidade.
(b) \mathbf{a}(3,1,0)=0\,\mathbf{i}+80\,\mathbf{j}-80\,\mathbf{k}.