Questão 3.9 Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação:
. Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Classificar o escoamento em função do regime de operação. O regime é permanente ou transitório? Justifique sua resposta.
b) Classificar o escoamento em função da dimensão do vetor velocidade. O escoamento é uni, bi ou tridimensional? Justifique sua resposta.
c) Determinar a expressão do vetor aceleração,
no ponto (
)
para um tempo
qualquer.
a) Classificar o escoamento em função do regime de operação. O regime é permanente ou transitório? Justifique sua resposta.
b) Classificar o escoamento em função da dimensão do vetor velocidade. O escoamento é uni, bi ou tridimensional? Justifique sua resposta.
c) Determinar a expressão do vetor aceleração,
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
- O campo de velocidades fornecido é
- As perguntas são:
(a) Classificar o escoamento quanto ao regime de operação: é permanente (estacionário) ou transitório (não estacionário)?
(b) Classificar o escoamento quanto à dimensão do vetor velocidade: é unidimensional, bidimensional ou tridimensional?
(c) Determinar a expressão do vetor aceleraçãono ponto para tempo qualquer.
Nada mais será assumido além do que está aí em cima; nos próximos passos eu vou explicar passo a passo as definições e calcular tudo.
Passo 2
(a) O que significa “permanente” (estacionário) versus “transitório” (não estacionário)?
- Um escoamento é dita permanente (ou estacionário) se a velocidade em cada ponto do espaço não muda com o tempo. Em termos matemáticos, isso acontece quando a derivada parcial temporal do campo de velocidades é nula:
- Se
em geral, o escoamento é transitório.
Agora vou calcular
para o campo dado. Primeiro identifico as componentes:
As derivadas parciais em relação ao tempo são:
Portanto
que não é o vetor nulo (em geral), porque
e
são não nulos para pontos com
ou
. Logo, o escoamento é transitório.
Passo 3
(b) O que significa uni-, bi- ou tridimensional no contexto de escoamentos?
- Unidimensional: tipicamente só existe uma componente de velocidade não nula e/ou a velocidade depende apenas de uma coordenada espacial (por exemplo
com é praticamente unidimensional no espaço). - Bidimensional: duas componentes de velocidade não nulas e/ou a velocidade depende efetivamente de duas coordenadas espaciais (por exemplo
). - Tridimensional: as três componentes podem ser não nulas e a dependência espacial envolve as três coordenadas.
No campo dado temos explicitamente três componentes:
Cada componente pode assumir valores diferentes de zero dependendo de
. Além disso, a velocidade depende de
,
e
(cada componente depende de pelo menos uma das três coordenadas). Assim o escoamento é tridimensional.
Para reforçar com um exemplo simples: se fosse
seria unidimensional; se
seria bidimensional; aqui temos dependência e componentes em todas as três direções, logo é tridimensional.
Passo 4
(c) Vamos calcular o vetor aceleração
. Primeiro, a definição e interpretação física:
- A aceleração de uma partícula fluida é a derivada material (ou derivada convectiva) da velocidade:
Aqui
é a aceleração local (variação temporal em um ponto fixo) e
é a aceleração convectiva (causada pelo movimento através de um campo de velocidades espacialmente variável). Vou calcular as duas parcelas separadamente e depois somar.
Passo 5
Calcular a parcela temporal (já parcialmente obtida no Passo 2). Reescrevendo:
Passo 6
Calcular a parcela convectiva
. Primeiro calculo as derivadas espaciais necessárias. Lembrando:
As derivadas parciais das componentes são:
Passo 7
Agora componho
. A fórmula componente a componente:
Substituindo
,
,
e as derivadas que calculei:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Portanto
Passo 8
Somando a parcela temporal e a parcela convectiva obtemos a aceleração total:
Componentes:
Logo, a expressão geral é
Passo 9
Agora avalio a aceleração no ponto
. Substituo
,
,
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto a aceleração no ponto pedido é
Resposta
(a) Transitório (não permanente).
(b) Tridimensional.
(c)
(b) Tridimensional.
(c)