Questão 3.9 Um determinado campo de velocidades é dado pela seguinte equação: \vec{V}(x, y, z, t)= 2 t x \vec{\imath}-t^{2} y \vec{\jmath}+3 x z \vec{k}. Para este escoamento, faça o que se pede:
a) Classificar o escoamento em função do regime de operação. O regime é permanente ou transitório? Justifique sua resposta.
b) Classificar o escoamento em função da dimensão do vetor velocidade. O escoamento é uni, bi ou tridimensional? Justifique sua resposta.
c) Determinar a expressão do vetor aceleração, \vec{a}(x, y, z, t)=a_{x} \vec{\imath}+a_{y} \vec{\jmath}+a_{z} \vec{k} no ponto ( \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} ) =(2,-2,0) para um tempo t qualquer.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • O campo de velocidades fornecido é
\vec{V}(x,y,z,t)=2t x\,\vec{\imath}-t^{2} y\,\vec{\jmath}+3 x z\,\vec{k}.
  • As perguntas são:
    (a) Classificar o escoamento quanto ao regime de operação: é permanente (estacionário) ou transitório (não estacionário)?
    (b) Classificar o escoamento quanto à dimensão do vetor velocidade: é unidimensional, bidimensional ou tridimensional?
    (c) Determinar a expressão do vetor aceleração \vec{a}(x,y,z,t)=a_x\vec{\imath}+a_y\vec{\jmath}+a_z\vec{k} no ponto (x,y,z)=(2,-2,0) para tempo t qualquer.
Nada mais será assumido além do que está aí em cima; nos próximos passos eu vou explicar passo a passo as definições e calcular tudo.

Passo 2

(a) O que significa “permanente” (estacionário) versus “transitório” (não estacionário)?
  • Um escoamento é dita permanente (ou estacionário) se a velocidade em cada ponto do espaço não muda com o tempo. Em termos matemáticos, isso acontece quando a derivada parcial temporal do campo de velocidades é nula:
\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}=\vec{0}.
  • Se \dfrac{\partial\vec{V}}{\partial t}\neq\vec{0} em geral, o escoamento é transitório.
Agora vou calcular \dfrac{\partial\vec{V}}{\partial t} para o campo dado. Primeiro identifico as componentes:
V_x=2t x,\qquad V_y=-t^{2}y,\qquad V_z=3 x z.
As derivadas parciais em relação ao tempo são:
\frac{\partial V_x}{\partial t}=2x,\qquad \frac{\partial V_y}{\partial t}=-2t y,\qquad \frac{\partial V_z}{\partial t}=0.
Portanto
\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}=2x\,\vec{\imath}-2t y\,\vec{\jmath}+0\,\vec{k},
que não é o vetor nulo (em geral), porque \frac{\partial V_x}{\partial t} e \frac{\partial V_y}{\partial t} são não nulos para pontos com x\neq0 ou y\neq0. Logo, o escoamento é transitório.

Passo 3

(b) O que significa uni-, bi- ou tridimensional no contexto de escoamentos?
  • Unidimensional: tipicamente só existe uma componente de velocidade não nula e/ou a velocidade depende apenas de uma coordenada espacial (por exemplo V_x=V_x(y,t) com V_y=V_z=0 é praticamente unidimensional no espaço).
  • Bidimensional: duas componentes de velocidade não nulas e/ou a velocidade depende efetivamente de duas coordenadas espaciais (por exemplo V_x(x,y),V_y(x,y),V_z=0).
  • Tridimensional: as três componentes podem ser não nulas e a dependência espacial envolve as três coordenadas.
No campo dado temos explicitamente três componentes:
V_x=2t x\quad(\text{pode ser não nulo}),\qquad V_y=-t^{2}y\quad(\text{pode ser não nulo}),\qquad V_z=3 x z\quad(\text{pode ser não nulo}).ããã
Cada componente pode assumir valores diferentes de zero dependendo de x,y,z,t. Além disso, a velocidade depende de x, y e z (cada componente depende de pelo menos uma das três coordenadas). Assim o escoamento é tridimensional.
Para reforçar com um exemplo simples: se fosse \vec{V}=(u(x,t),0,0) seria unidimensional; se \vec{V}=(u(x,y,t),v(x,y,t),0) seria bidimensional; aqui temos dependência e componentes em todas as três direções, logo é tridimensional.

Passo 4

(c) Vamos calcular o vetor aceleração \vec{a}. Primeiro, a definição e interpretação física:
  • A aceleração de uma partícula fluida é a derivada material (ou derivada convectiva) da velocidade:
\vec{a}=\frac{D\vec{V}}{Dt}=\frac{\partial \vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Aqui \dfrac{\partial\vec{V}}{\partial t} é a aceleração local (variação temporal em um ponto fixo) e (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V} é a aceleração convectiva (causada pelo movimento através de um campo de velocidades espacialmente variável). Vou calcular as duas parcelas separadamente e depois somar.

Passo 5

Calcular a parcela temporal (já parcialmente obtida no Passo 2). Reescrevendo:
\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}=2x\,\vec{\imath}-2t y\,\vec{\jmath}+0\,\vec{k}.

Passo 6

Calcular a parcela convectiva (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}. Primeiro calculo as derivadas espaciais necessárias. Lembrando:
\nabla=(\partial_x,\partial_y,\partial_z).
As derivadas parciais das componentes são:
\begin{aligned} \partial_x V_x &= 2t, & \partial_y V_x &= 0, & \partial_z V_x &= 0,\\\ \partial_x V_y &= 0, & \partial_y V_y &= -t^{2}, & \partial_z V_y &= 0,\\\ \partial_x V_z &= 3 z, & \partial_y V_z &= 0, & \partial_z V_z &= 3 x. \end{aligned}

Passo 7

Agora componho (\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}. A fórmula componente a componente:
\begin{aligned} \big((\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big)_x &= V_x\partial_x V_x + V_y\partial_y V_x + V_z\partial_z V_x,\\\ \big((\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big)_y &= V_x\partial_x V_y + V_y\partial_y V_y + V_z\partial_z V_y,\\\ \big((\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big)_z &= V_x\partial_x V_z + V_y\partial_y V_z + V_z\partial_z V_z. \end{aligned}
Substituindo V_x=2t x, V_y=-t^{2}y, V_z=3 x z e as derivadas que calculei:
  • Para a componente x:
\big((\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big)_x=(2t x)(2t)+(-t^{2}y)(0)+(3 x z)(0)=4 t^{2} x.
  • Para a componente y:
\big((\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big)_y=(2t x)(0)+(-t^{2}y)(-t^{2})+(3 x z)(0)=t^{4} y.
  • Para a componente z:
\big((\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}\big)_z=(2t x)(3 z)+(-t^{2}y)(0)+(3 x z)(3 x)=6 t x z+9 x^{2} z.
Portanto
(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}=4 t^{2} x\,\vec{\imath}+t^{4} y\,\vec{\jmath}+\big(6 t x z+9 x^{2} z\big)\,\vec{k}.

Passo 8

Somando a parcela temporal e a parcela convectiva obtemos a aceleração total:
\vec{a}=\frac{\partial\vec{V}}{\partial t}+(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}.
Componentes:
\begin{aligned} a_x &= 2x + 4 t^{2} x = x\big(2+4 t^{2}\big),\\[4pt] a_y &= -2t y + t^{4} y = y\big(t^{4}-2t\big),\\[4pt] a_z &= 0 + 6 t x z+9 x^{2} z = z\big(6 t x + 9 x^{2}\big)=3 x z\big(2t+3x\big). \end{aligned}
Logo, a expressão geral é
\vec{a}(x,y,z,t)=x\big(2+4 t^{2}\big)\,\vec{\imath}+y\big(t^{4}-2t\big)\,\vec{\jmath}+3 x z\big(2t+3x\big)\,\vec{k}.]

Passo 9

Agora avalio a aceleração no ponto (x,y,z)=(2,-2,0). Substituo x=2, y=-2, z=0:
  • Para a_x:
a_x = 2\big(2+4 t^{2}\big)=4+8 t^{2}.
  • Para a_y:
a_y = -2\big(t^{4}-2t\big)=-2t^{4}+4t = 4t-2t^{4}.
  • Para a_z:
a_z = 3\cdot 2\cdot 0\cdot(2t+3\cdot 2)=0.
Portanto a aceleração no ponto pedido é
\vec{a}(2,-2,0,t)=(4+8 t^{2})\,\vec{\imath}+\big(4t-2t^{4}\big)\,\vec{\jmath}+0\,\vec{k}.

Resposta

(a) Transitório (não permanente).
(b) Tridimensional.
(c) \displaystyle \vec{a}(2,-2,0,t)=(4+8t^{2})\,\vec{\imath}+\big(4t-2t^{4}\big)\,\vec{\jmath}+0\,\vec{k}

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