Questão 3.8 Sendo dado o escoamento abaixo, responda ao que se pede, justificando sua resposta:
\vec{V}(x, y)=-\frac{K y}{x^{2}+y^{2}} \vec{\imath}+\frac{K x}{x^{2}+y^{2}} \vec{\jmath}
a) As partículas fluidas sofrem algum tipo de deformação durante o escoamento? Prove contabilizando-as.
b) Qual o módulo do vetor velocidade angular no ponto ( -1,3 )?
c) Qual o módulo do vetor aceleração no ponto (x, y)=(1,1) ?
d) Qual a equação da(s) linha(s) de trajetória(s) que passa(m) no ponto ( x, y)=(2,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades bidimensional
\vec{V}(x,y)=u(x,y)\,\vec{\imath}+v(x,y)\,\vec{\jmath} \qquad\text{com}\qquad u(x,y)=-\dfrac{K y}{x^{2}+y^{2}},\quad v(x,y)=\dfrac{K x}{x^{2}+y^{2}}.
Pede-se:
(a) saber se as partículas sofrem deformação (e provar contabilizando-as);
(b) módulo da velocidade angular no ponto (-1,3);
(c) módulo da aceleração em (1,1);
(d) equação da(s) linha(s) de trajetória que passa(m) por (2,1).
Vou usar derivadas espaciais de u e v, o tensor gradiente de velocidade, a parte simétrica (tensor de deformação), a divergência (dilatação), a vorticidade/velocidade angular local e a aceleração material (\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de u e v. Para simplificar, defino D=x^{2}+y^{2}. Uso a regra do quociente; K é constante.
Cálculo detalhado:
\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= -K\frac{0\cdot D - y\cdot(2x)}{D^{2}} = \frac{2K x y}{D^{2}},\\[6pt] \frac{\partial u}{\partial y} &= -K\frac{1\cdot D - y\cdot(2y)}{D^{2}} = -K\frac{D-2y^{2}}{D^{2}} = -K\frac{x^{2}-y^{2}}{D^{2}},\\[6pt] \frac{\partial v}{\partial x} &= K\frac{1\cdot D - x\cdot(2x)}{D^{2}} = K\frac{D-2x^{2}}{D^{2}} = K\frac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}},\\[6pt] \frac{\partial v}{\partial y} &= K\frac{0\cdot D - x\cdot(2y)}{D^{2}} = -\frac{2K x y}{D^{2}}. \end{aligned}]

Passo 3

Calcular a divergência (taxa volumétrica) para ver dilatação:
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{2K x y}{D^{2}} -\frac{2K x y}{D^{2}} = 0.
Interpretação: a divergência nula significa que não há variação volumétrica local — o escoamento é incompressível (não há dilatação/contração do volume das partículas).

Passo 4

Calcular o tensor taxa de deformação (parte simétrica do gradiente de velocidade):
\mathbf{E}=\frac{1}{2}\big(\nabla\vec{V}+(\nabla\vec{V})^{T}\big)
Em componentes (em coordenadas cartesianas x,y):
\begin{aligned} E_{xx} &= \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{2K x y}{D^{2}},\\[4pt] E_{yy} &= \frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{2K x y}{D^{2}},\\[4pt] E_{xy} &= \frac{1}{2}\!\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right) = \frac{1}{2}\!\left(-K\frac{x^{2}-y^{2}}{D^{2}} + K\frac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}}\right) = -K\frac{x^{2}-y^{2}}{D^{2}}. \end{aligned}
Observações:
  • E_{xx} e E_{yy} são em geral não nulos (só anulam se xy=0).
  • E_{xy} também é geralmente não nulo (só anula se x^{2}=y^{2}).
    Como \mathbf{E} tem componentes não nulas em geral, isso significa que elementos fluidos mudam de forma (sofrendo deformação/cesura), apesar de manterem o volume (pois \mathrm{tr}\,\mathbf{E}=E_{xx}+E_{yy}=0).]

Passo 5

Verificação da rotação local (vorticidade) — relação com velocidade angular local (spin):
A vorticidade escalar em 2D é
\omega_{z}=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
Usando as derivadas obtidas:
\omega_{z}=K\frac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}} -\big(-K\frac{x^{2}-y^{2}}{D^{2}}\big) =0.
A velocidade angular local (spin) de um elemento fluido é \Omega_{z}=\dfrac{1}{2}\omega_{z}, logo \Omega_{z}=0 em todos os pontos (exceto na singularidade D=0). Conclusão parcial: não há rotação rígida local (spin = 0), mas há deformação puramente extensional / cisalhante (tensor \mathbf{E} não nulo).

Passo 6

Resposta à parte (b): calcular \Omega no ponto (-1,3). Como \omega_{z} é identicamente zero (para qualquer (x,y) com D\neq0), tem-se
\Omega\big|_{(-1,3)}=\frac{1}{2}\omega_{z}=0.

Passo 7

Calcular a aceleração material e seu módulo no ponto (1,1). Para escoamento estacionário a aceleração material é
\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}= \begin{pmatrix} u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\\[4pt] u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} \end{pmatrix}.
Primeiro avalio u,v e as derivadas em (1,1). Aqui D=1^{2}+1^{2}=2.
u(1,1)=-\frac{K}{2},\quad v(1,1)=\frac{K}{2}.
Derivadas em (1,1) (usando fórmulas do Passo 2):
\frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{(1,1)}=\frac{K}{2},\quad \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{(1,1)}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial x}\Big|_{(1,1)}=0,\quad \frac{\partial v}{\partial y}\Big|_{(1,1)}=-\frac{K}{2}.
Agora as componentes da aceleração:
\begin{aligned} a_{x} &= u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} = \left(-\frac{K}{2}\right)\!\left(\frac{K}{2}\right) + \frac{K}{2}\cdot 0 = -\frac{K^{2}}{4},\\[6pt] a_{y} &= u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} = \left(-\frac{K}{2}\right)\cdot 0 + \frac{K}{2}\left(-\frac{K}{2}\right) = -\frac{K^{2}}{4}. \end{aligned}
Módulo da aceleração em (1,1):
\|\vec{a}\|=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} = \sqrt{\frac{K^{4}}{16}+\frac{K^{4}}{16}} = \sqrt{\frac{K^{4}}{8}} = \frac{K^{2}}{2\sqrt{2}}.]

Passo 8

Encontrar linhas de trajetória (streamlines, para escoamento estacionário equivalem a trajetórias) resolvendo:
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u}=\frac{\dfrac{K x}{x^{2}+y^{2}}}{-\dfrac{K y}{x^{2}+y^{2}}}=-\frac{x}{y}.
Separando e integrando:
y\,dy = -x\,dx \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}y^{2} = -\frac{1}{2}x^{2}+C
ou
x^{2}+y^{2}=C'.
As linhas são círculos centrados na origem. A condição de passar por (2,1)
C'=2^{2}+1^{2}=5,
logo a trajetória pedida é x^{2}+y^{2}=5.

Resposta

(a) Sim. Há deformação de forma porque o tensor taxa de deformação \mathbf{E} tem componentes não nulos em geral:
\;E_{xx}=\dfrac{2Kxy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\;E_{yy}=-\dfrac{2Kxy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\;E_{xy}=-K\dfrac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
A divergência \nabla\cdot\vec{V}=0 mostra que não há variação volumétrica, e a vorticidade \omega_{z}=0 mostra ausência de rotação rígida local (spin zero), mas a parte simétrica \mathbf{E}\neq0 causa deformação de forma.
(b) \;0.
(c) \;\dfrac{K^{2}}{2\sqrt{2}}.
(d) \;x^{2}+y^{2}=5.

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