a) As partículas fluidas sofrem algum tipo de deformação durante o escoamento? Prove contabilizando-as.
b) Qual o módulo do vetor velocidade angular no ponto ( -1,3 )?
c) Qual o módulo do vetor aceleração no ponto (x, y)=(1,1) ?
d) Qual a equação da(s) linha(s) de trajetória(s) que passa(m) no ponto ( x, y)=(2,1).
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades bidimensional
Pede-se:
(a) saber se as partículas sofrem deformação (e provar contabilizando-as);
(b) módulo da velocidade angular no ponto (-1,3);
(c) módulo da aceleração em (1,1);
(d) equação da(s) linha(s) de trajetória que passa(m) por (2,1).
Vou usar derivadas espaciais de u e v, o tensor gradiente de velocidade, a parte simétrica (tensor de deformação), a divergência (dilatação), a vorticidade/velocidade angular local e a aceleração material (\vec{a}=(\vec{V}\cdot\nabla)\vec{V}).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de u e v. Para simplificar, defino D=x^{2}+y^{2}. Uso a regra do quociente; K é constante.
Cálculo detalhado:
\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= -K\frac{0\cdot D - y\cdot(2x)}{D^{2}} = \frac{2K x y}{D^{2}},\\[6pt] \frac{\partial u}{\partial y} &= -K\frac{1\cdot D - y\cdot(2y)}{D^{2}} = -K\frac{D-2y^{2}}{D^{2}} = -K\frac{x^{2}-y^{2}}{D^{2}},\\[6pt] \frac{\partial v}{\partial x} &= K\frac{1\cdot D - x\cdot(2x)}{D^{2}} = K\frac{D-2x^{2}}{D^{2}} = K\frac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}},\\[6pt] \frac{\partial v}{\partial y} &= K\frac{0\cdot D - x\cdot(2y)}{D^{2}} = -\frac{2K x y}{D^{2}}. \end{aligned}]
Passo 3
Calcular a divergência (taxa volumétrica) para ver dilatação:
\nabla\cdot\vec{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{2K x y}{D^{2}} -\frac{2K x y}{D^{2}} = 0.
Interpretação: a divergência nula significa que não há variação volumétrica local — o escoamento é incompressível (não há dilatação/contração do volume das partículas).
Passo 4
Calcular o tensor taxa de deformação (parte simétrica do gradiente de velocidade):
E_{xx} e E_{yy} são em geral não nulos (só anulam se xy=0).
E_{xy} também é geralmente não nulo (só anula se x^{2}=y^{2}).
Como \mathbf{E} tem componentes não nulas em geral, isso significa que elementos fluidos mudam de forma (sofrendo deformação/cesura), apesar de manterem o volume (pois \mathrm{tr}\,\mathbf{E}=E_{xx}+E_{yy}=0).]
Passo 5
Verificação da rotação local (vorticidade) — relação com velocidade angular local (spin):
A vorticidade escalar em 2D é
A velocidade angular local (spin) de um elemento fluido é \Omega_{z}=\dfrac{1}{2}\omega_{z}, logo \Omega_{z}=0 em todos os pontos (exceto na singularidade D=0). Conclusão parcial: não há rotação rígida local (spin = 0), mas há deformação puramente extensional / cisalhante (tensor \mathbf{E} não nulo).
Passo 6
Resposta à parte (b): calcular \Omega no ponto (-1,3). Como \omega_{z} é identicamente zero (para qualquer (x,y) com D\neq0), tem-se
\Omega\big|_{(-1,3)}=\frac{1}{2}\omega_{z}=0.
Passo 7
Calcular a aceleração material e seu módulo no ponto (1,1). Para escoamento estacionário a aceleração material é
As linhas são círculos centrados na origem. A condição de passar por (2,1) dá
C'=2^{2}+1^{2}=5,
logo a trajetória pedida é x^{2}+y^{2}=5.
Resposta
(a) Sim. Há deformação de forma porque o tensor taxa de deformação \mathbf{E} tem componentes não nulos em geral: \;E_{xx}=\dfrac{2Kxy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\;E_{yy}=-\dfrac{2Kxy}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\;E_{xy}=-K\dfrac{x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
A divergência \nabla\cdot\vec{V}=0 mostra que não há variação volumétrica, e a vorticidade \omega_{z}=0 mostra ausência de rotação rígida local (spin zero), mas a parte simétrica \mathbf{E}\neq0 causa deformação de forma.