Questão 10. (Funções)
Determine se a equação define y como uma função de x.
2 x y+5 y^2=4

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
2xy + 5y^2 = 4
e quer saber se isso define y como uma função única de x. O conteúdo aqui é o método de função implícita, em particular reconhecer que a equação é quadrática em y.

Passo 2

Para ver quantos valores de y surgem para cada x, reescrevemos a equação como uma quadrática em y. Basta organizar os termos:
5y^2 + 2xy - 4 = 0

Passo 3

Nesta forma, os coeficientes são a=5, b=2x e c=-4. O discriminante é
De<a = b^2 - 4ac = (2x)^2 - 4cdot 5 cdot (-4) = 4x^2 + 80 = 4,(x^2 + 20)
Como x^2+20>0 para todo x, temos De<a>0, ou seja, duas raízes reais distintas de y para cada x.

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver em y, obtemos
y = -b pm raizDe<a2a = -2x pm raiz4,(x^2+20)2cdot 5 = -2x pm 2raizx^2+2010 = -x pm raizx^2+205

Passo 5

Como há dois sinais ( + e -), para cada valor de x surgem duas imagens diferentes de y. Logo, a curva não passa no teste da reta vertical como único valor de y. Em outras palavras, sem restringir o sinal do radical, não definimos y como uma função única de x. Se quisermos uma função, precisamos escolher apenas um dos dois sinais e trabalhar com cada ramo separadamente.

Resposta

A equação não define y como função única de x, pois para cada x existem duas soluções em y:
y = -x + raizx^2+205 ou y = -x - raizx^2+205

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