Questão 9.Numa sexta-feira de inverno, um homem sai de casa às 07:00 da manhã e dirige até o seu trabalho em linha reta e leva 1 h de viagem. Após um longo dia de trabalho e uma merecida noite de diversão com os colegas de trabalho na lanchonete aberta 24 h ao lado da empresa, ele retorna ao estacionamento do trabalho e dirige até sua casa pelo exato mesmo caminho de antes, saindo do local de trabalho precisamente às 07:00 da manhã e levando novamente 1 h de viagem. É verdade que há um local no meio do caminho pelo qual ele passa na volta exatamente na mesma hora em que ele passou na ida?

Passo 1

O enunciado descreve duas viagens idênticas em rota e duração: a ida de casa ao trabalho e a volta pelo mesmo caminho, cada uma começando às 07:00 e durando 1 h. Precisamos mostrar que existe um ponto no trajeto em que o homem passa na volta exatamente na mesma hora em que passou na ida. O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário (continuidade de funções).

Passo 2

Modelamos a posição do carro em função do tempo no intervalo [7,8]\) (horas, onde \(7\) equivale a 07:00 e \(8\) a 08:00). Seja \(\ell\) o comprimento total do trajeto. Definimos \[\phi_1(t) = \begin{cases} 0,& t=7,\\\ \ell,& t=8, \end{cases}
como a distância percorrida desde a casa na ida, e
\phi_2(t) = \begin{cases} \ell,& t=7,\\\\ 0,& t=8, \end{cases}
como a distância percorrida desde a casa na volta (ou seja, partindo do trabalho em t=7\] e chegando em \(t=8). Ambas são contínuas em [7,8].

Passo 3

Definimos a função
h(t) = \phi_1(t) - \phi_2(t).
Então
h(7) = \phi_1(7) - \phi_2(7) = 0 - \ell = -\ell < 0,
h(8) = \phi_1(8) - \phi_2(8) = \ell - 0 = \ell > 0.

Passo 4

Como h é contínua em [7,8] e assume valores de sinais opostos em 7 e 8, pelo Teorema do Valor Intermediário existe t^*\in(7,8) tal que
h(t^*) = 0.
Isso significa \phi_1(t^*) = \phi_2(t^*), ou seja, na hora t^* o carro está na mesma posição tanto na ida quanto na volta.

Resposta

Sim, existe um ponto no meio do caminho em que ele passa na volta exatamente na mesma hora em que passou na ida.

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