Questão 9.Numa sexta-feira de inverno, um homem sai de casa às 07:00 da manhã e dirige até o seu trabalho em linha reta e leva 1 h de viagem. Após um longo dia de trabalho e uma merecida noite de diversão com os colegas de trabalho na lanchonete aberta 24 h ao lado da empresa, ele retorna ao estacionamento do trabalho e dirige até sua casa pelo exato mesmo caminho de antes, saindo do local de trabalho precisamente às 07:00 da manhã e levando novamente 1 h de viagem. É verdade que há um local no meio do caminho pelo qual ele passa na volta exatamente na mesma hora em que ele passou na ida?
Passo 1
O enunciado descreve duas viagens idênticas em rota e duração: a ida de casa ao trabalho e a volta pelo mesmo caminho, cada uma começando às 07:00 e durando 1 h. Precisamos mostrar que existe um ponto no trajeto em que o homem passa na volta exatamente na mesma hora em que passou na ida. O conteúdo principal é o Teorema do Valor Intermediário (continuidade de funções).
Passo 2
Modelamos a posição do carro em função do tempo no intervalo [7,8]\) (horas, onde \(7\) equivale a 07:00 e \(8\) a 08:00). Seja \(\ell\) o comprimento total do trajeto. Definimos
\[\phi_1(t) = \begin{cases} 0,& t=7,\\\ \ell,& t=8, \end{cases}
como a distância percorrida desde a casa na ida, e