Questão 8. Diga se a função
tem alguma raiz real e diga se ela tem algum ponto fixo.
Passo 1
O enunciado pede dois itens para a função
- Verificar se existe alguma raiz real de
. - Verificar se existe algum ponto fixo, ou seja, solução de
.
Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e argumentos de monotonicidade (através da derivada) para concluir existência e unicidade.
Passo 2
Estudamos antes a monotonicidade de
. Calculamos
O discriminante é
logo
para todo
. Isso mostra que
é estritamente crescente em
. Consequentemente, terá exatamente uma raiz real (pois é contínua, tende a
quando
e a
quando
).
Passo 3
Para localizar essa única raiz, avaliamos
Como
é contínua e muda de sinal em
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe exatamente uma raiz
.
Passo 4
Agora buscamos ponto fixo, solução de
A função
é polinomial de grau 3 e contínua. Para ver que tem uma única raiz real, note que
Logo, por valor intermediário, há uma raiz em
. Verificando
, vemos que
tem apenas um mínimo e um máximo locais, mas ambos com valor negativo (checando em
e
), portanto só cruza o eixo uma vez. Assim existe exatamente um ponto fixo.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz real (em
) e exatamente um ponto fixo (em
).