Questão 8. Diga se a função f(x)=x^{3}-x^{2}+x-\frac{1}{2} tem alguma raiz real e diga se ela tem algum ponto fixo.

Passo 1

O enunciado pede dois itens para a função
f(x)=x^{3}-x^{2}+x-\tfrac12:
  1. Verificar se existe alguma raiz real de f(x)=0.
  2. Verificar se existe algum ponto fixo, ou seja, solução de f(x)=x.
    Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e argumentos de monotonicidade (através da derivada) para concluir existência e unicidade.

Passo 2

Estudamos antes a monotonicidade de f. Calculamos
f'(x)=3x^{2}-2x+1.
O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot3\cdot1=4-12=-8<0,
logo f'(x)>0 para todo x. Isso mostra que f é estritamente crescente em \mathbb{R}. Consequentemente, terá exatamente uma raiz real (pois é contínua, tende a -\infty quando x\to-\infty e a +\infty quando x\to+\infty).

Passo 3

Para localizar essa única raiz, avaliamos
f(0)=0-0+0-\tfrac12=-\tfrac12<0, \qquad f(1)=1-1+1-\tfrac12=+\tfrac12>0.
Como f é contínua e muda de sinal em [0,1], pelo Teorema do Valor Intermediário existe exatamente uma raiz x_{0}\in(0,1).

Passo 4

Agora buscamos ponto fixo, solução de
f(x)=x \quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}-x^{2}+x-\tfrac12 = x \quad\Longleftrightarrow\quad g(x)\equiv x^{3}-x^{2}-\tfrac12 =0.
A função g é polinomial de grau 3 e contínua. Para ver que tem uma única raiz real, note que
g(1)=1-1-\tfrac12=-\tfrac12<0, \qquad g(2)=8-4-\tfrac12=3.5>0.
Logo, por valor intermediário, há uma raiz em (1,2). Verificando g'(x)=3x^{2}-2x, vemos que g tem apenas um mínimo e um máximo locais, mas ambos com valor negativo (checando em x=0 e x=\tfrac23), portanto só cruza o eixo uma vez. Assim existe exatamente um ponto fixo.

Resposta

A função f(x)=x^{3}-x^{2}+x-\tfrac12 tem exatamente uma raiz real (em (0,1)) e exatamente um ponto fixo (em (1,2)).

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