Questão 5(L4-20 b): Para todo n in N, mostrar que:
(b) n(n^2+5) é um múltiplo de 6 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN, o número
nl(n^2+5r)
é múltiplo de 6. Como 6=2cdot3 e gcd(2,3)=1, basta provar que n(n^2+5) é divisível por 2 e por 3.

Passo 2

Provar que n(n^2+5) é divisível por 2 (paridade):
  • Se n for par, então 2mid n, logo 2mid n(n^2+5).
  • Se n for ímpar, então ,n=2k+1implies n^2=4k^2+4k+1 também ímpar. Assim n^2+5=(ímpar)+5=(ímpar)+(ímpar)=par, ííío que implica 2mid(n^2+5), logo de novo 2mid n(n^2+5).
    Portanto, em qualquer caso, 2mid n(n^2+5).

Passo 3

Provar que n(n^2+5) é divisível por 3 (análise módulo 3):
  • Se nequiv0pmod3, então 3mid n e logo 3mid n(n^2+5).
  • Se nequiv1pmod3, então n^2equiv1pmod3 e n^2+5equiv1+5equiv6equiv0pmod3, ou seja, 3mid(n^2+5).
  • Se nequiv2pmod3, então n^2equiv4equiv1pmod3 e de novo n^2+5equiv1+5equiv6equiv0pmod3, logo 3mid(n^2+5).
    Em todas as situações, 3mid n(n^2+5).

Resposta

Como n(n^2+5) é divisível por 2 e por 3 e gcd(2,3)=1, concluímos que
6mid n(n^2+5),
ou seja, n(n^2+5) é múltiplo de 6 para todo ninN.

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