Questão - 10. Em uma pequena cidade, um matemático modelou a quantidade de lixo doméstico total (orgânico e reciclável) produzida pela população, mês a mês, durante um ano, através da função: f(x)=200+(x+ 50) cos (pi3 x-4 pi3), onde f(x) indica a quantidade de lixo, em toneladas, produzida na cidade no mês x, com x inteiro positivo. Sabendo que f(x), nesse período, atinge seu valor máximo em um dos valores de x no qual a função cos (pi3 x-4 pi3) atinge seu máximo, determine o mês x para o qual a produção de lixo foi máxima e quantas toneladas de lixo foram produzidas pela população nesse mês.

Passo 1

O enunciado fornece a quantidade de lixo por mês dada por
f(x)=200+(x+50)cosl(tfracpi3x-tfrac4pi3r),
onde x é um inteiro de 1 a 12. Diz-se que o máximo de f ocorre quando o fator cosl(tfracpi3x-tfrac4pi3r) atinge seu valor máximo, que é 1. Então vamos achar os x em que
cosl(tfracpi3x-tfrac4pi3r)=1,
e depois escolher, entre eles, o mês que realmente maximiza f.

Passo 2

Para ter
cosl(tfracpi3x-tfrac4pi3r)=1
é necessário que
tfracpi3x-tfrac4pi3=2kpi, kinZ
Isolando x obtemos
tfracpi3x = tfrac4pi3 + 2kpi Longrightarrow x = 4 + 6k

Passo 3

Como x representa o mês dentro de 1 a 12, testamos valores inteiros de k:
  • Para k=0 vem x=4.
  • Para k=1 vem x=10.
    Qualquer outro k x fora de 1,dots,12. Então os candidatos são x=4 e x=10.

Passo 4

Como em ambos cos(dots)=1, temos
f(x)=200+(x+50)cdot1=200+x+50=250+x
Logo
f(4)=250+4=254, f(10)=250+10=260
Entre esses, o maior valor é 260 em x=10.

Resposta

O mês de maior produção é x=10 e a quantidade de lixo produzida nesse mês foi 260 toneladas.

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