Questão 4 (10 pontos) Em cada caso, calcule o limite dado.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{7 x^{5}-4 x^{3}+28 x-1}{8 x^{3}-4 x^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\frac{7x^{5}-4x^{3}+28x-1}{8x^{3}-4x^{2}+9}.
O conteúdo é limite de função racional no infinito. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende a \pm\infty. Para determinar o sinal, comparamos os termos de maior grau.

Passo 2

Vamos fatorar x^{3} no numerador e no denominador para simplificar:
7x^{5}-4x^{3}+28x-1 = x^{3}\bigl(7x^{2}-4 + \tfrac{28}{x^{2}} - \tfrac{1}{x^{3}}\bigr),
8x^{3}-4x^{2}+9 = x^{3}\bigl(8 - \tfrac{4}{x} + \tfrac{9}{x^{3}}\bigr).

Passo 3

Substituindo na fração e cancelando x^{3}:
\frac{7x^{5}-4x^{3}+28x-1}{8x^{3}-4x^{2}+9} = \frac{7x^{2}-4 + \tfrac{28}{x^{2}} - \tfrac{1}{x^{3}}}{8 - \tfrac{4}{x} + \tfrac{9}{x^{3}}}.
À medida que x\to -\infty, os termos com 1/x, 1/x^{2} e 1/x^{3} tendem a zero, ficando
\frac{7x^{2}-4+\cdots}{8+\cdots}\;\longrightarrow\;\frac{7x^{2}}{8}\,.

Passo 4

Como x\to -\infty implica x^{2}\to+\infty, o quociente \tfrac{7x^{2}}{8} cresce sem bound e é positivo. Logo,
\lim_{x\to -\infty}\frac{7x^{5}-4x^{3}+28x-1}{8x^{3}-4x^{2}+9}=+\infty.

Resposta

+\infty

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