Questão 6 ( 10 pontos) Considere a função f(x)=x^{4}+8 x^{3}+18 x^{2}+10
(a) Determine os intervalos onde f(x) é crescente e os intervalos onde f(x) é decrescente.
(b) Determine os intervalos onde o gráfico da função f(x) é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico da função f(x) é côncava para baixo.
(c) Desenhe o gráfico da função f(x) (OBS: o gráfico não precisa estar em escala perfeita).
(d) A função f(x) possui máximos locais, mínimos locais, máximo global ou mínimo global? Se sim, quais são eles?

Passo 1

O enunciado pede: (a) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x)=x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+10; (b) os intervalos de concavidade para cima e para baixo; (c) esboçar o gráfico; (d) identificar máximos e mínimos locais e globais. Usaremos derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Calcular a primeira derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+10\bigr) =4x^{3}+24x^{2}+36x
e fatorar
f'(x)=4x(x^{2}+6x+9)=4x(x+3)^{2}.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos pela equação f'(x)=0:
4x(x+3)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=-3\\ (\text{multiplicidade 2}).

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x)=4x(x+3)^{2}:
  • Para x< -3, tem x<0 e (x+3)^{2}>0 \Rightarrow f'(x)<0.
  • Para -3<x<0, tem x<0 e (x+3)^{2}>0 \Rightarrow f'(x)<0.
  • Para x>0, tem x>0 e (x+3)^{2}>0 \Rightarrow f'(x)>0.
    Logo, f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,+\infty). Em x=-3 a derivada anula mas não muda de sinal (ponto de inflexão estacionário); em x=0 muda de decrescente para crescente (mínimo local).

Passo 5

Calcular a segunda derivada
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}+24x^{2}+36x\bigr) =12x^{2}+48x+36
e fatorar
f''(x)=12\bigl(x^{2}+4x+3\bigr) =12(x+1)(x+3).

Passo 6

Analisar o sinal de f''(x)=12(x+1)(x+3):
  • Para x< -3, (x+1)<0 e (x+3)<0 \Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
  • Para -3<x<-1, (x+3)>0, (x+1)<0 \Rightarrow f''(x)<0 (côncavo para baixo).
  • Para x> -1, (x+1)>0 e (x+3)>0 \Rightarrow f''(x)>0 (côncavo para cima).
    Os pontos de inflexão são x=-3 e x=-1; seus valores são f(-3)=37 e f(-1)=21.

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Para x\to\pm\infty, f(x)\to+\infty.
  • Pontos notáveis:
    \;(-3,37) inflexão estacionária,
    \;(-1,21) inflexão,
    \;(0,10) mínimo local (e global).
  • Decrece desde +\infty em x\to-\infty, muda de concavidade em -3, inverte concavidade em -1, atinge mínimo em 0 e cresce para +\infty.

Passo 8

Extremos:
  • Em x=0, f'(0)=0 e troca de sinal de f' \Rightarrow mínimo local. Como f(0)=10 é menor que qualquer outro valor de f, é também mínimo global.
  • Não há máximos locais (nem globais finitos), pois f\to+\infty nas extremidades.
  • Em x=-3 há ponto de inflexão estacionário, mas sem extremum.

Resposta

(a) f é decrescente em (-\infty,0) e crescente em (0,+\infty).
(b) f é côncava para cima em (-\infty,-3)\cup(-1,+\infty) e côncava para baixo em (-3,-1).
(c) Esboço: parte de +\infty em x\to-\infty, passa por inflexão em (-3,37), nova inflexão em (-1,21), mínimo em (0,10), cresce para +\infty.
(d) Mínimo local e global em (0,10). Não há máximos locais nem máximos globais.

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