Questão 6 ( 10 pontos) Considere a função
(a) Determine os intervalos onde
é crescente e os intervalos onde
é decrescente.
(b) Determine os intervalos onde o gráfico da função
é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico da função
é côncava para baixo.
(c) Desenhe o gráfico da função
(OBS: o gráfico não precisa estar em escala perfeita).
(d) A função
possui máximos locais, mínimos locais, máximo global ou mínimo global? Se sim, quais são eles?
(a) Determine os intervalos onde
(b) Determine os intervalos onde o gráfico da função
(c) Desenhe o gráfico da função
(d) A função
Passo 1
O enunciado pede: (a) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de
; (b) os intervalos de concavidade para cima e para baixo; (c) esboçar o gráfico; (d) identificar máximos e mínimos locais e globais. Usaremos derivadas primeira e segunda para monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Calcular a primeira derivada
e fatorar
Passo 3
Encontrar os pontos críticos pela equação
:
Passo 4
Analisar o sinal de
:
- Para
, tem e . - Para
, tem e . - Para
, tem e .
Logo,é decrescente em e crescente em . Em a derivada anula mas não muda de sinal (ponto de inflexão estacionário); em muda de decrescente para crescente (mínimo local).
Passo 5
Calcular a segunda derivada
e fatorar
Passo 6
Analisar o sinal de
:
- Para
, e (côncavo para cima). - Para
, , (côncavo para baixo). - Para
, e (côncavo para cima).
Os pontos de inflexão sãoe ; seus valores são e .
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Para
, . - Pontos notáveis:
inflexão estacionária,
inflexão,
mínimo local (e global). - Decrece desde
em , muda de concavidade em , inverte concavidade em , atinge mínimo em e cresce para .
Passo 8
Extremos:
- Em
, e troca de sinal de mínimo local. Como é menor que qualquer outro valor de , é também mínimo global. - Não há máximos locais (nem globais finitos), pois
nas extremidades. - Em
há ponto de inflexão estacionário, mas sem extremum.
Resposta
(a)
é decrescente em
e crescente em
.
(b) é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
(c) Esboço: parte de em
, passa por inflexão em
, nova inflexão em
, mínimo em
, cresce para
.
(d) Mínimo local e global em . Não há máximos locais nem máximos globais.
(b)
(c) Esboço: parte de
(d) Mínimo local e global em