Questão 3 (6 pontos) Em cada caso, calcule a derivada da função f(x) dada.
f(x)=\cos \left(x^{3}\right)+e^{5 x}+\sqrt{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\cos\bigl(x^{3}\bigr)+e^{5x}+\sqrt{x^{2}+4}
e pede a derivada f'(x). Para isso vamos usar a regra da soma, a regra da cadeia (para \cos(x^3) e para \sqrt{x^2+4}) e a derivada de exponencial.

Passo 2

Derivada de \cos(x^3):
a função externa é g(u)=\cos(u) com g'(u)=-\sin(u) e a interna é u(x)=x^3 com u'(x)=3x^2. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\cos(x^3) = g'\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) = -\sin(x^3)\cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3).

Passo 3

Derivada de e^{5x}:
para h(x)=e^{u(x)} com u(x)=5x e u'(x)=5, fica
\frac{d}{dx}e^{5x} = u'(x)\,e^{5x} = 5e^{5x}.

Passo 4

Derivada de \sqrt{x^2+4}=(x^2+4)^{1/2}:
a parte interna é v(x)=x^2+4 com v'(x)=2x e aplicamos a regra da potência com expoente \tfrac12:
\frac{d}{dx}(x^2+4)^{1/2} = \tfrac12(x^2+4)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.

Passo 5

Somando todas as derivadas pelas regras da soma, obtemos
f'(x) = -3x^2\sin(x^3) + 5e^{5x} + \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}.

Resposta

f'(x) = -3x^2\sin(x^3) + 5e^{5x} + \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

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