Questão 4 (10 pontos) Em cada caso, calcule o limite dado.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{x\to0^+} x^2 \cos\bigl(\tfrac1x\bigr). O conteúdo aqui é limite de função oscilatória multiplicada por uma função que tende a zero, e vamos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para resolver.

Passo 2

Sabemos que, para todo x\neq0, vale
-1 \,\le\, \cos\bigl(\tfrac1x\bigr) \,\le\, 1.
Como x^2\ge0 quando x>0, multiplicamos a desigualdade por x^2 e obtemos
-\,x^2 \,\le\, x^2\cos\bigl(\tfrac1x\bigr) \,\le\, x^2.

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que “seguram” x^2\cos(1/x). Para x\to0^+:
\lim_{x\to0^+}(-x^2)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}x^2=0.
Como ambos os limites são iguais a zero, pelo Teorema do Confronto a função do meio também tende a zero.

Resposta

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