Questão 2 (5 pontos) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x)=7 x^{5}-9 x^{3}+8 x^{2}-12 x+9 no ponto do gráfico de coordenada x=3.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico da função
f(x)=7x^{5}-9x^{3}+8x^{2}-12x+9
no ponto em que x=3. Para isso, precisamos de dois ingredientes: o coeficiente angular da reta, dado por f'(3), e as coordenadas do ponto, isto é \bigl(3,f(3)\bigr).

Passo 2

Vamos obter a derivada de f. Como a derivada de x^n é nx^{n-1}, temos
f'(x) =7\cdot5x^{4}-9\cdot3x^{2}+8\cdot2x-12 =35x^{4}-27x^{2}+16x-12.

Passo 3

Calculamos f(3) e f'(3).
f(3) =7\cdot3^{5}-9\cdot3^{3}+8\cdot3^{2}-12\cdot3+9 =7\cdot243-9\cdot27+8\cdot9-36+9 =1701-243+72-36+9 =1503.
f'(3) =35\cdot3^{4}-27\cdot3^{2}+16\cdot3-12 =35\cdot81-27\cdot9+48-12 =2835-243+48-12 =2628.

Passo 4

A equação geral da reta tangente em x=3 é
y - f(3) = f'(3)\,(x - 3).
Substituindo f(3)=1503 e f'(3)=2628,
y - 1503 = 2628\,(x - 3).
Para deixar em forma explícita y=mx+b, basta distribuir e isolar y:
y = 2628x - 2628\cdot3 + 1503 =2628x -7884 +1503 =2628x -6381.

Resposta

A equação da reta tangente é
y - 1503 = 2628\,(x - 3)
ou, na forma explícita,
y = 2628x - 6381.

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