Questão 4 (10 pontos) Em cada caso, calcule o limite dado.
Passo 1
O enunciado pede o limite
O conteúdo principal aqui é o estudo de limites de funções racionais que podem explodir para infinito quando o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo. Para resolver, vamos avaliar a forma da fração no ponto e depois analisar os sinais à esquerda e à direita de
.
Passo 2
Vamos ver o que acontece ao substituir diretamente
:
O numerador fica
O numerador fica
e o denominador
Logo a expressão tende a uma forma
, isto é, não é indeterminação
, mas sim “constante sobre zero”, o que indica um comportamento infinito (explosão) do valor da fração.
Passo 3
Para entender se é
ou
, fatoramos o denominador:
Assim, perto de
o fator relevante é
, pois
permanece positivo (valendo quase
).
Passo 4
Analisando o limite lateral pela esquerda,
:
— Numerador: (negativo).
— Fator .
— Fator .
Então o denominador é negativo e a fração
é positiva, crescendo sem limite.
Portanto
— Numerador:
— Fator
— Fator
Então o denominador
Portanto
Passo 5
Agora pelo lado direito,
:
— Numerador: (negativo).
— Fator .
— Fator .
O denominador é positivo e a fração é negativa e diverge em módulo.
Logo
— Numerador:
— Fator
— Fator
O denominador é positivo e a fração
Logo
Passo 6
Como os limites laterais não coincidem (
vs.
), o limite geral em
não existe.
Resposta
O limite
não existe.