Questão 4 (10 pontos) Em cada caso, calcule o limite dado.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{4 x-9}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to2}\frac{4x-9}{x^2-3x+2}.
O conteúdo principal aqui é o estudo de limites de funções racionais que podem explodir para infinito quando o denominador tende a zero enquanto o numerador tende a um valor não nulo. Para resolver, vamos avaliar a forma da fração no ponto e depois analisar os sinais à esquerda e à direita de x=2.

Passo 2

Vamos ver o que acontece ao substituir diretamente x=2:
O numerador fica
4\cdot2-9=8-9=-1,
e o denominador
2^2-3\cdot2+2=4-6+2=0.
Logo a expressão tende a uma forma \tfrac{-1}{0}, isto é, não é indeterminação 0/0, mas sim “constante sobre zero”, o que indica um comportamento infinito (explosão) do valor da fração.

Passo 3

Para entender se é +\infty ou -\infty, fatoramos o denominador:
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2).
Assim, perto de x=2 o fator relevante é (x-2), pois (x-1) permanece positivo (valendo quase 1).

Passo 4

Analisando o limite lateral pela esquerda, x\to2^-:
— Numerador: 4x-9\to-1 (negativo).
— Fator (x-1)>0.
— Fator (x-2)<0.
Então o denominador (x-1)(x-2) é negativo e a fração \tfrac{\text{negativo}}{\text{negativo}} é positiva, crescendo sem limite.
Portanto
\lim_{x\to2^-}\frac{4x-9}{x^2-3x+2} = +\infty.

Passo 5

Agora pelo lado direito, x\to2^+:
— Numerador: 4x-9\to-1 (negativo).
— Fator (x-1)>0.
— Fator (x-2)>0.
O denominador é positivo e a fração \tfrac{\text{negativo}}{\text{positivo}} é negativa e diverge em módulo.
Logo
\lim_{x\to2^+}\frac{4x-9}{x^2-3x+2} = -\infty.

Passo 6

Como os limites laterais não coincidem ( +\infty vs. -\infty), o limite geral em x\to2 não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{x\to2}\frac{4x-9}{x^2-3x+2} não existe.

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