Questão 1 (4 pontos) Determine o domínio da função f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-5 x+4}}{\ln \left(25-x^{2}\right)}.

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-5x+4}}{\ln\bigl(25-x^{2}\bigr)}.
O conteúdo envolve desigualdades para radicais e logaritmos, além da condição de denominar não nulo. Vamos usar:
  1. Para \sqrt{x^{2}-5x+4} ser real, é preciso x^{2}-5x+4\ge0.
  2. Para \ln(25-x^{2}) existir, é preciso 25-x^{2}>0.
  3. Como \ln(25-x^{2}) está no denominador, também precisamos \ln(25-x^{2})\neq0.

Passo 2

Resolvendo x^{2}-5x+4\ge0.
Fatoramos
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4),
logo a desigualdade (x-1)(x-4)\ge0 vale quando
x\le1\quad\text{ou}\quad x\ge4.

Passo 3

Resolvendo 25-x^{2}>0.
Reescrevendo como x^{2}<25, obtemos
-5<x<5.

Passo 4

Agora impomos que o denominador não se anule:
\ln(25-x^{2})\neq0 \quad\Longrightarrow\quad 25-x^{2}\neq1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\neq24 \quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm2\sqrt{6}.

Passo 5

Fazendo a interseção das condições:
  1. x\le1 ou x\ge4.
  2. -5<x<5.
  3. x\neq\pm2\sqrt{6}.
Da interseção de 1 e 2 vem
-5<x\le1 \quad\cup\quad 4\le x<5.
Removendo x=\pm2\sqrt{6} (pois 2\sqrt{6}\approx4,8989 e -2\sqrt{6}\approx-4,8989), obtemos quatro intervalos abertos onde a função está bem definida.

Resposta

O domínio de f é
\mathcal{D}=(-5,-2\sqrt{6})\;\cup\;(-2\sqrt{6},1]\;\cup\;[4,2\sqrt{6})\;\cup\;(2\sqrt{6},5).

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