Questão 4 (10 pontos). Considere o sistema linear
(a) Determine os valores possíveis de a para que o sistema tenha solução única.
(b) Para os valores a=0 e a=1, determine se o sistema tem solução. Caso tenha, encontre-a.
Passo 1
O sistema é dado por 2x + y + a z =1,; x + y - z =2,; x + a y + z = -1. Vamos usar determinante de matriz 3×3 para estudar existência e unicidade de soluções e, depois, resolver casos específicos.
Passo 2
Calculamos o determinante da matriz de coeficientes: det(A) = 2 & 1 & a1 & 1 & -11 & a & 1 = a(a+1). Portanto det(A)neq0 sse aneq0 e aneq-1, garantindo solução única.
Passo 3
Para a=0 temos det(A)=0. O sistema fica: 1) 2x+y=1, 2) x+y-z=2, 3) x+z=-1. Da 3) vem z=-1-x e substituindo na 2) obtemos novamente 2x+y=1, igual à 1). Logo há infinitas soluções, por exemplo parametrizando x=t: y=1-2t e z=-1-t.
Passo 4
Para a=1 temos det(A)=2neq0, então há solução única. Substituindo em 1), 2) e 3) com a=1 e resolvendo, obtemos x=2, y=-tfrac32 e z=-tfrac32.
Resposta
(a) O sistema tem solução única se e somente se aneq0 e aneq-1.
(b) Para a=0 há infinitas soluções: (x,y,z)=(t,,1-2t,,-1-t). Para a=1 a solução única é (2,,-tfrac32,,-tfrac32).