Seja T=T2 circ T1 em que T1: R^2 R^2 e T2: R^2 R^3 são transformações lineares dadas por
& T1(a, b)=(a-2 b, 2 a+3 b), forall(a, b) in R^2 & T2(a, b)=(a-b, b, a+b), forall(a, b) in R^2
respectivamente. Considere B= (1,0),(0,1) a base canônica de R^2. A matriz [T]B, B é igual a :
(a)
[cc -1 & -5 2 & 3 3 & 1 ]
(b)
[cc -1 & 5 2 & 3 3 & 1 ]
(c)
[cc 1 & -5 2 & 3 3 & 1 ]
(d)
[cc -1 & -5 -2 & 3 3 & 1 ]
(e)
[cc -1 & -5 2 & -3 3 & 1 ]

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é achar a matriz de
T = T2circ T1:R^2toR^3
na base canônica B=(1,0),(0,1). Isso envolve:
  1. Escrever as matrizes de T1 e T2 na base canônica.
  2. Multiplicar essas matrizes (já que compor transformações vira produto de matrizes).

Passo 2

Primeiro, T1:R^2toR^2 é dada por
T1(a,b) = (,a - 2b,;2a + 3b,)
Para achar a matriz M1=[T1]B,B, olhamos cada componente como combinação linear de a e b:
  • Componente 1: a - 2b = 1cdot a + (-2)cdot b.
  • Componente 2: 2a + 3b = 2cdot a + 3cdot b.
    Logo
M1 = 1 & -2 2 & 3

Passo 3

Agora T2:R^2toR^3 é
T2(a,b) = (,a-b,;b,;a+b,)
De novo, cada saída é combinação de a,b:
  • 1ª linha: a-b = 1cdot a + (-1)cdot b.
  • 2ª linha: b = 0cdot a + 1cdot b.
  • 3ª linha: a+b = 1cdot a + 1cdot b.
    Então
M2 = [T2]B,B = 1 & -1 0 & 1 1 & 1

Passo 4

Para compor T2circ T1, calculamos
M = M2,M1 = 1 & -1 0 & 1 1 & 1 1 & -2 2 & 3
Fazendo produto de matrizes (cada entrada é soma de produtos de linha×coluna):
M = 1cdot1 + (-1)cdot2 & 1cdot(-2)+(-1)cdot3[6pt] 0cdot1 + 1cdot2 & 0cdot(-2)+1cdot3[6pt] 1cdot1 + 1cdot2 & 1cdot(-2)+1cdot3 = -1 & -5 2 & 3 3 & 1
]

Resposta

A matriz [T]B,B é
-1 & -5 2 & 3 3 & 1 ,
ou seja, a alternativa (a).

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