Seja V um espaço vetorial com dim V= 200. Considere as afirmações a seguir
(I) Existe uma transformação linear T: V V tal que
20 dim Ker T+30 dim ImT=3500
(II) Se T: V V é uma transformação linear tal que dim ImT=150, então ImT não está contida em KerT.
(III) Se T: V V é uma transformação linear tal que dim Ker T=185, então a imagem de T está contida em KerT.
Podemos afirmar que
(a) (I),(I I) e (III) são verdadeiras
(b)Apenas ( I ) e ( I I ) são verdadeiras
(c) (I),(I I) e (I I I) são falsas
(d) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

Passo 1

O enunciado diz que temos um espaço vetorial V com dimensão dim V=200 e falamos de uma transformação linear T:Vto V. As afirmações envolvem as dimensões do núcleo e da imagem de T, e a gente vai usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity), que afirma:
dimker T + dimImT = dim V = 200
Então basta definir
k = dimker T, r = dimImT
e usar k+r=200 para checar cada afirmação.

Passo 2

Verificando (I):
A afirmação quer 20,k + 30,r = 3500. Divide por 10:
2k + 3r = 350
Como r = 200 - k, substituo:
2k + 3(200 - k) = 350 ;Longrightarrow; 2k + 600 - 3k = 350 ;Longrightarrow; -k = -250 ;Longrightarrow; k = 250
Mas ker T não pode ter dimensão 250 se V só tem dimensão 200. Conclusão: (I) é falsa.

Passo 3

Verificando (II):
Dizem que dimImT = 150, logo r=150 e
k = 200 - r = 50
Pergunta: “ ImT está contida em ker T?”
Se fosse, teríamos um subespaço de dimensão 150 dentro de um de dimensão 50. Isso não rola (150>50), então ImT não está contida em ker T. Portanto (II) é verdadeira.

Passo 4

Verificando (III):
Agora k=185 e r=200-185=15. Eles querem que sempre ImTsubseteqker T.
Só porque um subespaço tem dimensão 15 e o outro 185 (15≤185) não garante que o subespaço de dimensão 15 está de fato dentro do outro. A condição de dimensão permite que caiba, mas não obriga a inclusão. Então (III) é falsa.

Resposta

e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.

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