Seja V um espaço vetorial com
200. Considere as afirmações a seguir
(I) Existe uma transformação linear
tal que
(II) Se
é uma transformação linear tal que
, então
não está contida em KerT.
(III) Se
é uma transformação linear tal que
, então a imagem de
está contida em KerT.
Podemos afirmar que
(a)
e (III) são verdadeiras
(b)Apenas (
) e (
) são verdadeiras
(c)
e
são falsas
(d) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
(I) Existe uma transformação linear
(II) Se
(III) Se
(a)
(b)Apenas (
(c)
(d) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.
Passo 1
O enunciado diz que temos um espaço vetorial V com dimensão
e falamos de uma transformação linear
. As afirmações envolvem as dimensões do núcleo e da imagem de
, e a gente vai usar o Teorema da Dimensão (rank–nullity), que afirma:
Então basta definir
e usar
para checar cada afirmação.
Passo 2
Verificando (I):
A afirmação quer . Divide por 10:
A afirmação quer
Como
, substituo:
Mas
não pode ter dimensão 250 se
só tem dimensão 200. Conclusão: (I) é falsa.
Passo 3
Verificando (II):
Dizem que , logo
e
Dizem que
Pergunta: “
está contida em
?”
Se fosse, teríamos um subespaço de dimensão 150 dentro de um de dimensão 50. Isso não rola (150>50), então não está contida em
. Portanto (II) é verdadeira.
Se fosse, teríamos um subespaço de dimensão 150 dentro de um de dimensão 50. Isso não rola (150>50), então
Passo 4
Verificando (III):
Agora e
. Eles querem que sempre
.
Só porque um subespaço tem dimensão 15 e o outro 185 (15≤185) não garante que o subespaço de dimensão 15 está de fato dentro do outro. A condição de dimensão permite que caiba, mas não obriga a inclusão. Então (III) é falsa.
Agora
Só porque um subespaço tem dimensão 15 e o outro 185 (15≤185) não garante que o subespaço de dimensão 15 está de fato dentro do outro. A condição de dimensão permite que caiba, mas não obriga a inclusão. Então (III) é falsa.
Resposta
e) Nenhuma das alternativas anteriores está correta.