Questão 3 ( 10 pontos) Determine os valores de e para que a equação: volume) seja dimensionalmente correta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de , e . O problema está pedindo para garantir que a equação seja dimensionalmente correta. Isso significa que as unidades de cada lado da equação devem ser iguais. Para isso, vamos usar análise dimensional, que nos ajuda a verificar a compatibilidade das unidades em uma equação física.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as dimensões de cada grandeza envolvida. As dimensões básicas que vamos usar são:
Massa
Comprimento
Tempo
Vamos analisar cada termo:
Força: A força é medida em newtons (), e sabemos que . Então, as dimensões da força são:
Massa: A massa tem dimensão:
Volume: O volume é uma medida de espaço e tem dimensão:
Energia: A energia, medida em joules (), tem dimensão:
Passo 3
Agora, vamos substituir as dimensões na equação dada:
Substituindo pelas dimensões:
Vamos simplificar cada lado:
Lado Esquerdo:
Lado Direito:
Passo 4
Para que a equação seja dimensionalmente correta, as potências de cada dimensão devem ser iguais nos dois lados. Então, igualamos as potências de , e :
Para :
Para :
Para :
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Substituindo x = z na segunda equação:
z = 3 + 2z
Resolvendo para z:
z - 2z = 3 -z = 3 z = -3
Agora que sabemos que z = -3, substituímos na equação x = z:
x = -3
Por fim, usamos x + y = z:
-3 + y = -3 y = 0
Resposta
Os valores que tornam a equação dimensionalmente correta são: