Questão 3 ( 10 pontos) Determine os valores de x, y e z para que a equação: ( força a)^x cdot( massa )^y=(ç volume) cdot( energia )^z seja dimensionalmente correta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação para encontrar os valores de x, y e z. O problema está pedindo para garantir que a equação (força)^x cdot (massa)^y = volume cdot (energia)^zç seja dimensionalmente correta. Isso significa que as unidades de cada lado da equação devem ser iguais. Para isso, vamos usar análise dimensional, que nos ajuda a verificar a compatibilidade das unidades em uma equação física.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as dimensões de cada grandeza envolvida. As dimensões básicas que vamos usar são:
  • Massa [M]
  • Comprimento [L]
  • Tempo [T]
Vamos analisar cada termo:
  • Força: A força é medida em newtons ( N), e sabemos que 1,N = 1,kg cdot m/s^2. Então, as dimensões da força são:
Força = [M][L][T]^-2 ç
  • Massa: A massa tem dimensão:
Massa = [M]
  • Volume: O volume é uma medida de espaço e tem dimensão:
Volume = [L]^3
  • Energia: A energia, medida em joules ( J), tem dimensão:
Energia = [M][L]^2[T]^-2

Passo 3

Agora, vamos substituir as dimensões na equação dada:
(Força)^x cdot (Massa)^y = Volume cdot (Energia)^z ç
Substituindo pelas dimensões:
([M][L][T]^-2)^x cdot [M]^y = [L]^3 cdot ([M][L]^2[T]^-2)^z
Vamos simplificar cada lado:
Lado Esquerdo:
[M]^x [L]^x [T]^-2x cdot [M]^y = [M]^x+y [L]^x [T]^-2x
Lado Direito:
[L]^3 cdot [M]^z [L]^2z [T]^-2z = [M]^z [L]^3+2z [T]^-2z

Passo 4

Para que a equação seja dimensionalmente correta, as potências de cada dimensão devem ser iguais nos dois lados. Então, igualamos as potências de M, L e T:
  1. Para M:
x + y = z
  1. Para L:
x = 3 + 2z
  1. Para T:
-2x = -2z
Simplificando:
x = z

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
x + y = z x = 3 + 2z x = z
Substituindo x = z na segunda equação:
z = 3 + 2z
Resolvendo para z:
z - 2z = 3 -z = 3 z = -3
Agora que sabemos que z = -3, substituímos na equação x = z:
x = -3
Por fim, usamos x + y = z:
-3 + y = -3 y = 0

Resposta

Os valores que tornam a equação dimensionalmente correta são:
x = -3, y = 0, z = -3

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