Questão 10 - A proporção X de investidores que obtêm algum tipo de lucro no mercado financeiro, no decorrer de um ano, apresenta a seguinte distribuição: f(x)=2(1-x), 0<x<1.
a) Determine a probabilidade de que mais de 60 % dos investidores obtenham lucro em um ano qualquer.
b) Determine o valor esperado da proporção de investidores que obtém lucro em um ano qualquer.
c) Determine o desvio padrão da proporção de investidores que obtém lucro em um ano qualquer.
d) Determine a covariância de X com Y=2 X-1.
e) Determine o coeficiente de correlação de X com Y=2 X-1.

Passo 1

Beleza, manda ver: a variável aleatória X tem densidade
f(x)=2(1-x), 0<x<1
A gente vai trabalhar com: probabilidade em variável contínua (integração de f), valor esperado, desvio padrão, covariância e coeficiente de correlação. As fórmulas-chave são
  • P(a<X<b)= integrala^b f(x),dx,
  • E[X]=integral0^1 x,f(x),dx,
  • Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2,
  • Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y],
  • rhoX,Y=dfracCov(X,Y)sigmaX,sigmaY

Passo 2

(a) Queremos P(X>0.6).
Pela definição,
P(X>0.6)=integral0.6^1 2(1-x),dx
Calculemos:
integral 2(1-x),dx = 2l(x - tfracx^22r)=2x - x^2
Então
P(X>0.6)=l[,2x - x^2,r]0.6^1 =(2cdot1-1^2)-(2cdot0.6-0.6^2) =1 - (1.2-0.36) =1 - 0.84 =0.16

Passo 3

(b) Agora o valor esperado E[X]:
E[X]=integral0^1 x,2(1-x),dx =2integral0^1 (x - x^2),dx =2l[tfracx^22-tfracx^33r]0^1 =2l(tfrac12-tfrac13r) =2cdottfrac16 =tfrac13

Passo 4

(c) Desvio padrão de X. Primeiro E[X^2]:
E[X^2]=integral0^1 x^2,2(1-x),dx =2integral0^1 (x^2 - x^3),dx =2l[tfracx^33-tfracx^44r]0^1 =2l(tfrac13-tfrac14r) =2cdottfrac112 =tfrac16
A variância é
Var(X)=E[X^2]-l(E[X]r)^2 =tfrac16-l(tfrac13r)^2 =tfrac16-tfrac19 =tfrac3-218 =tfrac118
Logo o desvio padrão é
sigmaX=raizVar(X) =raiztfrac118 =tfrac13raiz2

Passo 5

(d) Covariância com Y=2X-1:
Cov(X,Y) =Cov(X,2X-1) =2,Cov(X,X) =2,Var(X) =2cdottfrac118 =tfrac19

Passo 6

(e) Coeficiente de correlação:
rhoX,Y =Cov(X,Y)sigmaX,sigmaY
Como Y=2X-1 temos sigmaY=2,sigmaX. Então
rhoX,Y =tfrac19sigmaX,(2sigmaX) =tfrac192,sigmaX^2 =tfrac192,tfrac118 =tfrac19tfrac19 =1

Resposta

a) 0.16
b) E[X]=tfrac13
c) sigmaX=tfrac13raiz2
d) Cov(X,Y)=tfrac19
e) rhoX,Y=1

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