Questão 9 - Seja X uma v.a. com desvio padrão 5. Sejam ainda: Y= 4X-1 e Z = 3X. Determine:
a) a covariância entre Y e Z. R: 300.
b) o coeficiente de correlação entre Y e Z. R: 1.

Passo 1

O enunciado diz que X é uma variável aleatória com desvio-padrão sigmaX=5. Definimos
Y = 4X - 1 e Z = 3X
e queremos (a) Cov(Y,Z) e (b) o coeficiente de correlação rhoY,Z. Vamos usar as propriedades de covariância e correlação sob transformações lineares.

Passo 2

Para calcular a covariância note que, em geral,
Cov(aX+b,;cX+d) = a,c,Var(X)
Aqui a=4 e c=3, e Var(X)=sigmaX^2=5^2=25. Logo,
Cov(Y,Z)=4cdot3cdot25=12cdot25=300

Passo 3

O coeficiente de correlação é definido por
rhoY,Z = Cov(Y,Z)sigmaY,sigmaZ
Como sigmaY=|4|,sigmaX=4cdot5=20 e sigmaZ=|3|,sigmaX=3cdot5=15, temos
rhoY,Z = 30020cdot15 = 300300=1

Resposta

a) Cov(Y,Z)=300
b) rhoY,Z=1

Exercícios relacionados