Questão 8 - Um comerciante compra três produtos por R$500,00 a unidade e vende por 500,00 a unidade e vende por 1.000,00 1.000,00ãã200,00 por cada um. Seja 200,00 por cada um Seja a quantidade de produtos vendidos. Suponha que a probabilidade de o comerciante não vender nenhum produto seja 0,10 , e de vender 1, 2 e 3 seja 0,20 , 0,30 e 0,40 , respectivamente.
a) Escreva o lucro como função de a quantidade de produtos vendidos Suponha que a probabilidade de o comerciante não vender nenhum produto seja 0,10 , e de vender 1, 2 e 3 seja 0,20 , 0,30 e 0,40 , respectivamente a) Escreva o lucro como função de número de produtos vendidos.
b) Calcule o valor esperado do lucro, a partir da expressão que você obteve no item a).
c) Calcule a variância do lucro, a partir da expressão que você obteve no item a).

Passo 1

Beleza, vamos dar um panorama rápido do que o exercício pede. Temos um comerciante que compra 3 produtos a R$ 500 cada e:
  • Vende deles a R$ 1 000 cada.
  • Recicla os não vendidos (ou seja, ) a R$ 200 cada.
    A variável aleatória tem distribuição:
O que queremos:
  1. Montar a função lucro .
  2. Calcular o valor esperado .
  3. Calcular a variância .
    O assunto aqui é variável aleatória discreta, transformação (função de ), expectativa e variância.

Passo 2

Definindo o lucro L em função de X:
Lucro = receita de venda + receita reciclagem − custo total.
  1. Receita de venda: 1000X.
  2. Receita de reciclagem: 200(3-X).
  3. Custo total: 3times 500 = 1500.
    Logo, em LaTeX:
L(X) ;=; 1000X ;+; 200(3 - X);-;1500
Agora simplifica:
L(X) = 1000X + 600 - 200X - 1500 = 800X - 900
Se você quiser conferir os valores:
  • X=0:;L(0)=800cdot0-900=-900.
  • X=1:;L(1)=800-900=-100.
  • X=2:;L(2)=1600-900=700.
  • X=3:;L(3)=2400-900=1500.

Passo 3

Calcular E[L]. A definição é
E[L] ;=;sumx=0^3 L(x),P(X=x)
Substituindo:
E[L]=(-900)cdot0,10 + (-100)cdot0,20 + 700cdot0,30 + 1500cdot0,40
Fazendo as contas:
E[L]=-90 -20 +210 +600 = 700

Passo 4

Agora a variância Var(L). Podemos usar
Var(L) = E[L^2] - l(E[L]r)^2,
onde
E[L^2] = sumx=0^3 l(L(x)r)^2 P(X=x)
Já temos L(x), então:
L(0)^2 = (-900)^2 = 810000, L(1)^2 = (-100)^2 = 10000,
L(2)^2 = 700^2 = 490000, L(3)^2 = 1500^2 = 2250000
Logo
E[L^2] = 810000cdot0,10 + 10000cdot0,20 + 490000cdot0,30 + 2250000cdot0,40 =1130000
Então
Var(L) = 1130000 - 700^2 = 1130000 - 490000 = 640000

Resposta

a) L(X) = 800X - 900
b) E[L] = 700
c) Var(L) = 640000

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