Questão 8 - Um comerciante compra três produtos por R$500,00 a unidade e vende por
1.000,00
200,00 por cada um. Seja
a quantidade de produtos vendidos. Suponha que a probabilidade de o comerciante não vender nenhum produto seja 0,10 , e de vender 1, 2 e 3 seja 0,20 , 0,30 e 0,40 , respectivamente.
a) Escreva o lucro como função de
número de produtos vendidos.
b) Calcule o valor esperado do lucro, a partir da expressão que você obteve no item a).
c) Calcule a variância do lucro, a partir da expressão que você obteve no item a).
a) Escreva o lucro como função de
b) Calcule o valor esperado do lucro, a partir da expressão que você obteve no item a).
c) Calcule a variância do lucro, a partir da expressão que você obteve no item a).
Passo 1
Beleza, vamos dar um panorama rápido do que o exercício pede. Temos um comerciante que compra 3 produtos a R$ 500 cada e:
- Vende
deles a R$ 1 000 cada. - Recicla os não vendidos (ou seja,
) a R$ 200 cada.
A variável aleatóriatem distribuição:
O que queremos:
- Montar a função lucro
. - Calcular o valor esperado
. - Calcular a variância
.
O assunto aqui é variável aleatória discreta, transformação (função de), expectativa e variância.
Passo 2
Definindo o lucro
em função de
:
Lucro = receita de venda + receita reciclagem − custo total.
Lucro = receita de venda + receita reciclagem − custo total.
- Receita de venda:
. - Receita de reciclagem:
. - Custo total:
.
Logo, em LaTeX:
Agora simplifica:
Se você quiser conferir os valores:
-
. -
. -
. -
.
Passo 3
Calcular
. A definição é
Substituindo:
Fazendo as contas:
Passo 4
Agora a variância
. Podemos usar
onde
Já temos
, então:
Logo
Então
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)