(a) Calcule o determinante desta matriz.
(b) Esta matriz é invertível? (Apenas responda sim ou não e justifique a sua resposta).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A de 4x4 e o exercício pede duas coisas:
a) Calcular o determinante dessa matriz.
b) Dizer se a matriz é invertível ou não, justificando a resposta.
Pra resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes maiores e lembrar que uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz A de forma clara:
Essa matriz tem 0 na diagonal principal e 1 em todas as outras posições.
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos optar pela expansão por cofatores, que envolve simplificar a matriz usando operações de linha para facilitar o cálculo.
Passo 4
Vamos realizar operações de linha para transformar a matriz em uma forma mais simples. O objetivo é criar zeros abaixo da diagonal principal. Isso facilita o cálculo do determinante.
Primeiro, vamos trocar a primeira e a segunda linhas para ter um 1 no primeiro elemento:
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que abaixo do 1 da segunda linha (posição (2,2)) tenham zeros. Para isso, subtraímos a segunda linha das linhas 3 e 4:
Agora, a matriz está triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos multiplicar os elementos da diagonal:
det(A) = 1 times 1 times (-2) times (-2) = 1 times 1 times 4 = 4
Passo 8
Pronto! Calculamos o determinante da matriz A e encontramos que ele é igual a 4.
Passo 9
Agora, vamos responder à segunda parte: a matriz A é invertível?
Sabemos que uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.
Como o determinante de A é 4, que é diferente de zero, concluímos que:
Resposta
a) O determinante da matriz A é 4.
b) Sim, a matriz é invertível, pois seu determinante é diferente de zero.