Questão: (10 pts.): Seja
A=[llll 0 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 ]
(a) Calcule o determinante desta matriz.
(b) Esta matriz é invertível? (Apenas responda sim ou não e justifique a sua resposta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A de 4x4 e o exercício pede duas coisas:
a) Calcular o determinante dessa matriz.
b) Dizer se a matriz é invertível ou não, justificando a resposta.
Pra resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes maiores e lembrar que uma matriz é invertível se o seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A de forma clara:
A = 0 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0
Essa matriz tem 0 na diagonal principal e 1 em todas as outras posições.

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Aqui, vamos optar pela expansão por cofatores, que envolve simplificar a matriz usando operações de linha para facilitar o cálculo.

Passo 4

Vamos realizar operações de linha para transformar a matriz em uma forma mais simples. O objetivo é criar zeros abaixo da diagonal principal. Isso facilita o cálculo do determinante.
Primeiro, vamos trocar a primeira e a segunda linhas para ter um 1 no primeiro elemento:
A = 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0

Passo 5

Agora, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 da primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha das linhas 3 e 4:
Linha 3: Linha 3 - Linha 1
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 & 0 1 & 1 & 1 & 0
Linha 4: Linha 4 - Linha 1
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & -1

Passo 6

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que abaixo do 1 da segunda linha (posição (2,2)) tenham zeros. Para isso, subtraímos a segunda linha das linhas 3 e 4:
Linha 3: Linha 3 - Linha 2
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -2 & -1 0 & 1 & 0 & -1
Linha 4: Linha 4 - Linha 2
1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -2 & -1 0 & 0 & -1 & -2

Passo 7

Agora, a matriz está triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Então, vamos multiplicar os elementos da diagonal:
det(A) = 1 times 1 times (-2) times (-2) = 1 times 1 times 4 = 4

Passo 8

Pronto! Calculamos o determinante da matriz A e encontramos que ele é igual a 4.

Passo 9

Agora, vamos responder à segunda parte: a matriz A é invertível?
Sabemos que uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.
Como o determinante de A é 4, que é diferente de zero, concluímos que:

Resposta

a) O determinante da matriz A é 4.
b) Sim, a matriz é invertível, pois seu determinante é diferente de zero.

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