Questão: (10 pts.) Considere os sistemas em função do parâmetro :
(a) Encontre todos os valores para o parâmetro a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Resolva o sistema correspondente ao valor a=-1.
dependendo do parâmetro a. Precisamos classificar quando o sistema não tem solução, tem solução única ou infinitas soluções, e em seguida resolver o caso a=-1. Para isso vamos usar determinantes e análise de posto de matrizes.
Passo 2
Escrevendo a matriz dos coeficientes
A= 1 & 2 & 2a 1 & 1 & a -1 & -2 & a^2-2a-1 ,
calculemos det A. Note que a terceira linha é -vezes a primeira mais (a^2-1) no terceiro componente. Logo
det A =(a^2-1), det 1 & 2 & 2a 1 & 1 & a 0 & 0 & 1 =(a^2-1)l(1cdot1-2cdot1r) =-(a^2-1)=1-a^2
Passo 3
Como det A=1-a^2, temos:
Se aneqpm1, então det Aneq0 e o sistema tem solução única.
Se a=pm1, então det A=0 e o sistema é singular, devendo analisar consistência.
Passo 4
Caso a=1: a matriz dos coeficientes tem posto 2 (terceira linha igual a -primeira) e o vetor termo é l[4,,3,,-2r]^T. Como a equação 3 é -vezes a 1 em coeficientes mas não em termos livres (-2neq-4), o posto da ampliada é 3. Logo posto(coef)<posto(ampliada) e não há solução.
Passo 5
Caso a=-1: a matriz dos coeficientes também tem posto 2 (novamente linha 3= -linha 1), mas o vetor termo é l[0,,1,,0r]^T e a linha 3 é -linha 1 também nos termos livres. Assim posto(coef)=posto(ampliada)=2 <3, dando infinitas soluções.
Passo 6
Para
Deixe . Substituindo na primeira:
Então
com .
Resposta
(a) Para aneqpm1: solução única.
Para a=1: nenhuma solução.
Para a=-1: infinitas soluções.
(b) Quando a=-1, a solução geral é