1. Questão: (10 pts.) Considere os sistemas em função do parâmetro a :
cccc x+2 y+ & 2 a z & = & 2 a+2 x+y+ & a z & = & a+2 -x-2 y+ & (a^2-2 a-1) z & = & -a-1
(a) Encontre todos os valores para o parâmetro a para os quais o sistema não tem solução, tem solução única e tem infinitas soluções.
(b) Resolva o sistema correspondente ao valor a=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
x+2y+2a,z=2a+2, x+y+a,z=a+2, -,x-2y+(a^2-2a-1),z=-a-1,
dependendo do parâmetro a. Precisamos classificar quando o sistema não tem solução, tem solução única ou infinitas soluções, e em seguida resolver o caso a=-1. Para isso vamos usar determinantes e análise de posto de matrizes.

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes
A= 1 & 2 & 2a 1 & 1 & a -1 & -2 & a^2-2a-1 ,
calculemos det A. Note que a terceira linha é -vezes a primeira mais (a^2-1) no terceiro componente. Logo
det A =(a^2-1), det 1 & 2 & 2a 1 & 1 & a 0 & 0 & 1 =(a^2-1)l(1cdot1-2cdot1r) =-(a^2-1)=1-a^2

Passo 3

Como det A=1-a^2, temos:
  • Se aneqpm1, então det Aneq0 e o sistema tem solução única.
  • Se a=pm1, então det A=0 e o sistema é singular, devendo analisar consistência.

Passo 4

Caso a=1: a matriz dos coeficientes tem posto 2 (terceira linha igual a -primeira) e o vetor termo é
l[4,,3,,-2r]^T. Como a equação 3 é -vezes a 1 em coeficientes mas não em termos livres ( -2neq-4), o posto da ampliada é 3. Logo posto(coef) <posto(ampliada) e não há solução.

Passo 5

Caso a=-1: a matriz dos coeficientes também tem posto 2 (novamente linha 3= -linha 1), mas o vetor termo é
l[0,,1,,0r]^T e a linha 3 é -linha 1 também nos termos livres. Assim posto(coef) =posto(ampliada) =2 <3, dando infinitas soluções.

Passo 6

Para
Deixe . Substituindo na primeira:
Então
com .

Resposta

(a) Para aneqpm1: solução única.
Para a=1: nenhuma solução.
Para a=-1: infinitas soluções.
(b) Quando a=-1, a solução geral é
(x,y,z)=(2,,t-1,,t), tinR

Exercícios relacionados