Questão: (5 pts) Responda verdadeiro ou falso e justifique sua resposta (ou seja, prove se for verdadeira ou dê um exemplo se a afirmativa for falsa).
(a)
, então
.
(b) Seja
é uma matriz
tal que
. Então o sistema
admite infinitas soluções.
(a)
(b) Seja
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas afirmações envolvendo matrizes e determinantes:
(a) Se o determinante de
é zero, então o determinante de
é
.
(b) Se
é uma matriz
tal que
(ou seja,
é uma matriz anti-simétrica), então o sistema
tem infinitas soluções.
Vamos precisar entender um pouco sobre determinantes, matrizes invertíveis, e propriedades de matrizes anti-simétricas para resolver essas afirmações.
Passo 2
Vamos começar com a primeira afirmação (a):
(a) Se
, então
.
Primeiro, vamos entender o que significa
. O determinante de uma matriz ser zero indica que a matriz não é invertível, ou seja, ela tem pelo menos um valor próprio igual a zero.
No entanto,
sugere que
é um valor próprio de
, porque estamos basicamente olhando para o determinante de
menos a identidade
.
Agora, será que isso implica que
necessariamente é igual a
? A resposta é não. Vamos ver um exemplo para ilustrar isso:
Exemplo: Considere a matriz identidade
. Temos:
Mas,
Portanto, mesmo que
,
nem sempre é igual a
. Este exemplo mostra que a afirmação pode ser falsa.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda afirmação (b):
(b) Seja
uma matriz
tal que
. Então, o sistema
admite infinitas soluções.
Aqui,
é uma matriz anti-simétrica, ou seja, a transposta de
é igual a menos
. Uma propriedade importante das matrizes anti-simétricas de ordem ímpar (como
) é que seu determinante é zero. Isso porque os valores próprios de tais matrizes são puramente imaginários ou zero, e para matrizes de ordem ímpar, sempre há pelo menos um valor próprio igual a zero.
Se
, isso significa que a matriz
não é invertível, e o sistema homogêneo
terá pelo menos uma solução não trivial. Na verdade, como a matriz é
, haverá infinitas soluções.
Resposta
(a) Falso. O determinante de
não necessariamente é
quando
.
(b) Verdadeiro. O sistema
admite infinitas soluções para uma matriz anti-simétrica
.