Questão: (5 pts) Responda verdadeiro ou falso e justifique sua resposta (ou seja, prove se for verdadeira ou dê um exemplo se a afirmativa for falsa).
(a) Se det(A-I)=0, então det(A)=-1.
(b) Seja A é uma matriz 3 times 3 tal que A^T=-A. Então o sistema A X=0 admite infinitas soluções.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos duas afirmações envolvendo matrizes e determinantes:
(a) Se o determinante de A - I é zero, então o determinante de A é -1.
(b) Se A é uma matriz 3 times 3 tal que A^T = -A (ou seja, A é uma matriz anti-simétrica), então o sistema A X = 0 tem infinitas soluções.
Vamos precisar entender um pouco sobre determinantes, matrizes invertíveis, e propriedades de matrizes anti-simétricas para resolver essas afirmações.

Passo 2

Vamos começar com a primeira afirmação (a):
(a) Se det(A - I) = 0 , então det(A) = -1 .
Primeiro, vamos entender o que significa det(A - I) = 0 . O determinante de uma matriz ser zero indica que a matriz não é invertível, ou seja, ela tem pelo menos um valor próprio igual a zero.
No entanto, det(A - I) = 0 sugere que 1 é um valor próprio de A , porque estamos basicamente olhando para o determinante de A menos a identidade I .
Agora, será que isso implica que det(A) necessariamente é igual a -1? A resposta é não. Vamos ver um exemplo para ilustrar isso:
Exemplo: Considere a matriz identidade I . Temos:
det(I - I) = det(0) = 0
Mas,
det(I) = 1 neq -1
Portanto, mesmo que det(A - I) = 0 , det(A) nem sempre é igual a -1. Este exemplo mostra que a afirmação pode ser falsa.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda afirmação (b):
(b) Seja A uma matriz 3 times 3 tal que A^T = -A . Então, o sistema A X = 0 admite infinitas soluções.
Aqui, A é uma matriz anti-simétrica, ou seja, a transposta de A é igual a menos A . Uma propriedade importante das matrizes anti-simétricas de ordem ímpar (como 3 times 3 ) é que seu determinante é zero. Isso porque os valores próprios de tais matrizes são puramente imaginários ou zero, e para matrizes de ordem ímpar, sempre há pelo menos um valor próprio igual a zero.
Se det(A) = 0 , isso significa que a matriz A não é invertível, e o sistema homogêneo A X = 0 terá pelo menos uma solução não trivial. Na verdade, como a matriz é 3 times 3 , haverá infinitas soluções.

Resposta

(a) Falso. O determinante de A não necessariamente é -1 quando det(A - I) = 0 .
(b) Verdadeiro. O sistema A X = 0 admite infinitas soluções para uma matriz anti-simétrica 3 times 3 .

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