1. Questão: (10 pts.) Considerem a matriz
A=[lll 1 & 0 & 1 3 & 3 & 3 2 & 2 & 3 ]
(a) Se possível, calcule a matiz inversa da matriz A.
(b) Quais são todas as possíveis soluções do sistema A X=[l1 1 1] ?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 1 3 & 3 & 3 2 & 2 & 3
e pede (a) a matriz inversa A^-1, se ela existir, e (b) todas as soluções do sistema
A,X = 111
Para isso vamos precisar usar:
  1. Critério de invertibilidade (determinante não nulo).
  2. Fórmula A^-1 = 1det(A)adj(A).
  3. Solução de sistema por X = A^-1b quando A é invertível.

Passo 2

Calculamos o determinante de A para ver se ela é invertível.
Usando desenvolvimento pela primeira linha:
det(A) =1cdotdet3&32&3 -0cdot(cdots) +1cdotdet3&32&2
Agora
det3&32&3 =3cdot3 - 3cdot2 =9-6 =3, det3&32&2 =3cdot2 -3cdot2 =0
Logo
det(A) = 1cdot3 + 1cdot0 = 3 neq 0,
portanto A é invertível.

Passo 3

Vamos montar a matriz de cofatores e obter a adjunta adj(A).
Os cofatores Cij são (omitindo detalhes de sinal):
C = 3 & -3 & 0 2 & 1 & -2 -3 & 0 & 3
Então
adj(A) = C^T = 3 & 2 & -3 -3 & 1 & 0 0 & -2 & 3
Aplicando a fórmula
A^-1 = 1det(A),adj(A) = 13 3 & 2 & -3 -3 & 1 & 0 0 & -2 & 3 ,
obtemos
A^-1 = 1 & tfrac23 & -1 -1 & tfrac13 & 0 0 & -tfrac23 & 1

Passo 4

Como A é invertível, o sistema
A,X = 111
tem solução única dada por
X = A^-1 111
Fazendo a multiplicação
X = 1 & tfrac23 & -1 -1 & tfrac13 & 0 0 & -tfrac23 & 1 111 = 1 + tfrac23 -1 -1 + tfrac13 + 0 0 - tfrac23 +1 = tfrac23 -tfrac23 tfrac13

Resposta

(a)
A^-1 = 1 & tfrac23 & -1 -1 & tfrac13 & 0 0 & -tfrac23 & 1
(b) A solução é única,
X = tfrac23 -tfrac23 tfrac13

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