- Questão: (10 pts.) Considerem a matriz
(a) Se possível, calcule a matiz inversa da matriz
A .
(b) Quais são todas as possíveis soluções do sistema
A X=[l1 1 1] ?
(b) Quais são todas as possíveis soluções do sistema
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede (a) a matriz inversa
A^-1 , se ela existir, e (b) todas as soluções do sistema
Para isso vamos precisar usar:
- Critério de invertibilidade (determinante não nulo).
- Fórmula
.A^-1 = 1det(A)adj(A) - Solução de sistema por
quandoX = A^-1b é invertível.A
Passo 2
Calculamos o determinante de
A para ver se ela é invertível.
Usando desenvolvimento pela primeira linha:
Usando desenvolvimento pela primeira linha:
Agora
Logo
portanto
A é invertível.
Passo 3
Vamos montar a matriz de cofatores e obter a adjunta
adj(A) .
Os cofatoresCij são (omitindo detalhes de sinal):
Os cofatores
Então
Aplicando a fórmula
obtemos
Passo 4
Como
A é invertível, o sistema
tem solução única dada por
Fazendo a multiplicação
Resposta
(a)
(b) A solução é única,