1. Questão: (10 pts.) Seja
A=[llll 0 & 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 2 2 & 1 & 1 & 2 2 & 2 & 2 & 0 ]
(a) Calcule o determinante de A.
(b) Esta matriz é invertível? (Apenas responda sim ou não e justifique a sua resposta).

Passo 1

O enunciado pede (a) calcular o determinante da matriz
A = 0 & 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 2 2 & 1 & 1 & 2 2 & 2 & 2 & 0
e (b) dizer se A é invertível. O conteúdo envolvido é cálculo de determinantes por operações elementares em linhas e a relação entre determinante e invertibilidade (matriz é invertível se e somente se seu determinante for não nulo).

Passo 2

Para facilitar, trocamos R1 com R2. Essa troca muda o sinal do determinante, isto é,
det(A) = -,det(B),
onde
B = 1 & 1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & 2 2 & 2 & 2 & 0

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo de b11=1:
R3 R3 - 2,R1 Longrightarrow (2,1,1,2) - 2,(1,1,1,2) = (0,-1,-1,-2),
R4 R4 - 2,R1 Longrightarrow (2,2,2,0) - 2,(1,1,1,2) = (0,0,0,-4)
A matriz fica triangular por blocos:
B sim 1 & 1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & -2 0 & 0 & 0 & -4

Passo 4

Como B está em forma quase triangular,
det(B) = 1 times det 2 & 1 & 1 -1 & -1 & -2 0 & 0 & -4
Para essa matriz 3times 3, expandindo pela última linha (único não nulo em -4 na coluna 3):
det 2 & 1 & 1 -1 & -1 & -2 0 & 0 & -4 = (-4)cdotdet2 & 1-1 & -1 = (-4)l(2cdot(-1)-1cdot(-1)r) = (-4)(-2+1)=4
Logo det(B)=4 e
det(A) = -,det(B) = -4

Passo 5

Uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for não nulo. Como
det(A) = -4 neq 0,
concluímos que A é invertível.

Resposta

(a) det(A)=-4.
(b) Sim, pois det(A)neq0.

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